÷ƒ’À;è TeX output 2001.05.28:1144‹ÿÿÿÿ u0’ ý³CU 1F' þ q‘;.Ãïsrc:8PART0.texóÂÖN G® cmbx12»Y›þaGun-Qi–záKingdom“||“F˜undamen‘ÿuÂtal“OneŽŸ*sç’ÀØJïsrc:14PART0.texóX«Q cmr12¼ChangY–ÿVu‘ê¨W“angŽŸ"ð‡‘kOnce“w˜e“are“familiar“with“these,‘\çone“then“ma˜yŽ¡‘"$ªfeel–¦fit's“easy“to“understand“this“totally“new“Kingdom.ŽŽŸv„’æ“41ŽŽŒ‹* u0’ ý³CU 1F' ý홊‘3$ªïsrc:2PART1.texŽ©€‘"$ªïsrc:4PART1.texÈI.‘2INTR¦tODUCTIONŽŸ6g‘3$ªïsrc:8PART1.tex¹This–Sarticle“is“mainly“foMÞcused“on“the“fundamen²!tal“Y›ÿeun-Qi“notions,‘Y˜un-Qi“pri-ޤ ‘"$ªmary–'¯algebra,‘AY‘ÿeun-Qi“di erenš²!tiation“and“in˜tegration,‘Aand“three“completely“di eren˜tŽ¡‘"$ªY‘ÿeun-Qi–¼‡spaces.‘ AIn“section“2,›Âthe“Univ²!ersal“Space“or“U-Space“has“bMÞeen“de ned,˜andŽ¡‘"$ªsubsequenš²!tly–ÿúa“v˜ery“impMÞortan˜t“concept“\ohitor"“is“in˜troMÞduced.‘¦dIn“section“3,‘!Ct˜w˜o“spMÞe-Ž¡‘"$ªcial›6{n•²!um“bMÞers˜named˜\dorb"˜and˜\turq"˜ha“v“e˜bMÞeen˜rev“ealed.‘ŽThey˜are˜pla“ying˜theŽ¡‘"$ªvital–Froles“in“Y›ÿeun-Qi“Kingdom.‘¯(Section“4“giv²!es“the“primary“Y˜un-Qi“algebra.‘¯(SectionŽ¡‘"$ª5–eÂgivš²!es“the“Y‘ÿeun-Qi“deriv‘ÿdDativ˜es.‘ðThe“Y‘ÿeun-Qi“in˜tegrals“are“in˜troMÞduced“in“section“6.Ž¡‘"$ªThe–Ï=di erenš²!tiation“and“in˜tegration“here“are“actually“the“simple“algebra“opMÞerations“inŽ¡‘"$ªY‘ÿeun-Qi–Ã9Kingdom.‘4WSection“7“discusses“the“spšMÞecial“op˜erations,‘Ênwhic²!h“are“the“bridgesŽ¡‘"$ªof–V‡connecting“Y‘ÿeun-Qi“ohitors“with“toMÞdaš²!y's“so-called“ph˜ysical“w˜orld.‘î@Section“8“hasŽ¡‘"$ªgiv²!en–©˜a“new“Y›ÿeun-Qi“space“called“V˜eloMÞcitš²!y“Space“or“V-Space,‘êdwhic˜h“is“totally“dif-Ž¡‘"$ªferenš²!t–ºËwith“toMÞda˜y's“coMÞordinate“system.‘ The“Acceleration“Space“or“A-Space“is“giv˜enŽ¡‘"$ªin–6?section“9.›iIt“is“also“di eren²!t“with“the“U-Space“and“V-Space.˜The“relationshipsŽ¡‘"$ªbMÞet•²!w“een–”ûthe“U-Space“and“V-Space,›˜wthe“U-Space“and“A-Space,˜and“the“V-space“andŽ¡‘"$ªA-Space›¦fha•²!v“e˜also˜bMÞeen˜rev“ealed.Ž¡‘3$ªïsrc:2PART2.texަ‘"$ªïsrc:4PART2.texÈIY‹I.–2U-SP‘þó\A¦tCE“AND“OHITORSŽŸ6g‘3$ªïsrc:8PART2.tex‘ñÃÓó!",š ó3 cmsy10‘Ó1ÈFirstŽ‘Kã¹,‘± The–¦fBasic“Y‘ÿeun-Qi“Concepts“and“NotationsŽ‘± Ÿº¥‰feÍW×ŽŽŸaD‘3$ªïsrc:13PART2.texLet:Ž¡’¸Ü1ó  b> ó3 cmmi10¿R‘ O¹=‘ §¿xeŸûz•ó|{Ycmr8½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽŽ’¢}w¹(1)ŽŽŽŸ€‘3$ªïsrc:19PART2.texWhere–¦fI“wš²!ould“lik˜e“to“name“the“capital“R“\ohit".Ž¡‘3$ªïsrc:21PART2.texThe–É„set“Âf¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ–À¿;›Ó1eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ“¿;˜eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ“Âg–É„¹is“named“as“\basis",‘ÒLand“is“compMÞosed“of“three“elemen²!ts.‘G8I'llŽ¡‘"$ªgivš²!e–U±this“elemen˜t“a“name“\eed".‘ë¿Then“¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ‘À¿;‘Ó1eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ› µ¹and“¿eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ˜¹are“subsequen²!tly“called“\eed-Ž¡‘"$ªx",‘W5\eed-y"–¦and“\eed-z".›ìœThese“three“eeds“can“not“exist“alone.˜They“are“threeŽ¡‘"$ªnon-separable‘¦felemen²!ts.Ž¡‘3$ªïsrc:26PART2.texThe–-’set“Âf¿x;–Ó1yd“;“z{IÂg–-’¹is“named“as“\v‘ÿdDaria",‘O]and“is“compMÞosed“of“three“elemen²!ts.‘sbTheŽ¡‘"$ªname–Èfor“this“elemenš²!t“is“giv˜en“b˜y“\v˜og".‘§þThen“x,‘%y“and“z“are“called“\v˜og-x",‘%\v˜og-y"Ž¡‘"$ªand–MÖ\vš²!og-z".‘Ô.These“three“v˜ogs“can“not“exist“alone.‘Ô.They“are“three“non-separableŽ¡‘"$ªelemen²!ts.Ž¡‘3$ªïsrc:30PART2.texThe–”Òset“Âf¿xeŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ–À¿;›Ó1yd“eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ“¿;˜z{IeŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ“Âg–”Ò¹is“named“as“\cošMÞord",‘˜Vand“is“comp˜osed“of“three“elemen²!ts.Ž¡‘"$ªThe–âOname“for“this“elemenš²!t“is“\w˜eq".‘œ€Then“x¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ‘À¿;‘Ó1yd“eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ›¢S¹and“z¿eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ˜¹are“called“\w•²!eq-x",‘ ‡\w“eq-Ž¡‘"$ªy"–ôæand“\wš²!eq-z".‘¢²These“three“w˜eqs“can“not“exist“alone.‘¢²They“are“three“non-separableŽ¡‘"$ªelemen²!ts.Ž¡‘3$ªïsrc:35PART2.texF‘ÿeor–uæthe“spMÞecial“ohit“R,“its“basis“Âf¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ–À¿;›Ó1eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ“¿;˜eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ“Âg–uæ¹oš²!wns“a“particular“name“\univ˜ersalŽ¡‘"$ªbasis"–O\or“\U-basis".‘ ؾThe“space“constructed“on“it“is“called“\univ²!ersal“space"“orŽ¡‘"$ª\U-Space",–¦fdenoted“b²!y“\&Ÿü¾½0Ž‘Ê«¹".‘ÝÝThe“U-basis“is“also“written“as“\&Ÿü¾½0Ž‘À¹-basis".ŽŽŸv„’æ“42ŽŽŒ‹ “ u0’ ý³CU 1F' ý홊‘3$ªïsrc:40PART2.tex¹F‘ÿeor–†the“general“cases,‘Ë if“¿ ‘šæ¹is“a“pMÞositivš²!e“or“negativ˜e“in˜teger“including“1“and“0,ޤ ‘"$ªand:Ž¡’« ¦¿R¨Ÿûz•ó×2cmmi8À Ž‘ æ¹=‘ §¿xŸûz•À Ž‘õ—¿eŸûz•À ŽŸ:j½1ŽŽ–dƒ¹+›nì¿yd“Ÿûz•À Ž‘Z*¿eŸûz•À ŽŸ:j½2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸûz•À Ž‘pà¿eŸûz•À ŽŸ:j½3ŽŽŽ’¢}w¹(2)ŽŽŽŸì©‘3$ªïsrc:49PART2.texThen–Üõwš²!e“ha˜v˜e“follo˜wing“general“names“for“its“notations.‘‹The“¿R¨Ÿü¾À Ž‘ è4¹is“called“\ohi-Ž¡‘"$ªtor",‘´the–ñØset“Âf¿eŸü¾À ŽŸÁg½1ŽŽ–õ—¿;›Ó1eŸü¾À ŽŸÁg½2ŽŽ“¿;˜eŸü¾À ŽŸÁg½3ŽŽ“Âg–ñعis“named“as“\base",›´set“Âf¿xŸü¾À Ž‘õ—¹,¿yd“Ÿü¾À Ž‘Z*¹,¿z{IŸü¾À Ž‘pàÂg“¹as“\v‘ÿdDariable",˜and“setŽ¡‘"$ªÂf¹(¿xeŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ–À¹)Ÿü¾À Ž›õ—¹,‘¦f(¿yd“eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹)Ÿü¾À Ž˜¹,‘¦f(¿z{IeŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ“¹)Ÿü¾À Ž˜Âg–¦f¹as“\coMÞordinate".Ž¡‘3$ªïsrc:54PART2.texReaders–ÖGmaš²!y“think“¿R¨Ÿü¾À Ž‘ ᆹis“the“ohit“R‘Õùto“the“pMÞo˜w˜er“¿ `¹.›mActually“it“is.˜But“atŽ¡‘"$ªpresenš²!t–¦ftime,“y˜ou'd“bšMÞetter“to“consider“¿ ‘°Æ¹as“a“sup˜erscript.Ž¡‘3$ªïsrc:57PART2.texF‘ÿeor–¦fthe“spMÞecial“case“¿ ‘¹=‘ §0:ޤÙR‘aý ¿R¨Ÿûz•½0Ž‘àS¹=‘ §¿Z‘ûNîÂjŽ‘ èz¹=‘ §¿xŸûz•½0Ž‘À¿eŸûz•½0ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“Ÿûz•½0Ž‘$—¿eŸûz•½0ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸûz•½0Ž‘;M¿eŸûz•½0ŽŸ:j3ŽŽ‘Ê«¹=‘ §¿eŸûz•½0ŽŸ:j1ŽŽ“¹+˜¿eŸûz•½0ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿eŸûz•½0ŽŸ:j3ŽŽ–Ê«¹=› §¿eŸûz•½0Ž“¹=˜¿z‘ü9,ÂjŽŽŽ’¢}w¹(3)ŽŽŽ¡‘3$ªïsrc:63PART2.texwhere–Õ©this“degenerated“ohitor“has“a“particular“name“\zenk",‘!yand“denoted“b²!yޤ ‘"$ª\¿Z‘ûNîÂjŽ‘ _â¹"–ôoand“\¿z‘ü9,ÂjŽ‘è-¹".‘ÇøAs“a“spMÞecial“case,‘ñall“the“names“used“for“ohit“are“also“emplo•²!y“ed‘ôoforŽ¡‘"$ªzenk.Ž¡‘3$ªïsrc:67PART2.texIn–óY‘ÿeun-Qi“Kingdom,›Jif“not“spMÞeci ed,˜all“capital“letters“are“reserv²!ed“for“ohitors.Ž¡‘"$ªThe–̆vš²!ogs“of“an“ohitor“will“bMÞe“denoted“b˜y“three“same“correspMÞonding“small“lettersŽ¡‘"$ªwith–~Áthe“subscripts“of“1,›´Ø2“and“3,˜represenš²!ting“v˜og-x,‘´Øv˜og-y“and“v˜og-z“separately‘ÿe.Ž¡‘"$ªF‘ÿeor‘¦fexample:Ž©ÙR’€+½¿A‘ §¹=ŽŽ’•gà¿aŸ¤z½1Ž–À¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ›.ð¹+‘nì¿aŸ¤z½2Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ˜¹+‘nì¿aŸ¤z½3Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽ’îË÷¹=‘ §¿aŸ¤zÀxŽ‘Hç¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿aŸ¤zÀyŽ‘ý ¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿aŸ¤zÀzŽ‘Ê®¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽŽŽ’¢}x¹(4)ŽŽŽ¤ßñ‘‡@¿B‘—K¹=ŽŽ’— î¿bŸ¤z½1Ž–À¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ›.ð¹+‘nì¿bŸ¤z½2Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ˜¹+‘nì¿bŸ¤z½3Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽ’îË÷¹=‘ §¿bŸ¤zÀxŽ‘Hç¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿bŸ¤zÀyŽ‘ý ¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿bŸ¤zÀzŽ‘Ê®¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽŽŽ’¢}x¹(5)ŽŽŽ¡’ ª¿S‘¬9¹=ŽŽ’–c¿sŸ¤z½1Ž–À¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ›.ð¹+‘nì¿sŸ¤z½2Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ˜¹+‘nì¿sŸ¤z½3Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽ’îË÷¹=‘ §¿sŸ¤zÀxŽ‘Hç¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿sŸ¤zÀyŽ‘ý ¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿sŸ¤zÀzŽ‘Ê®¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽŽŽ’¢}x¹(6)ŽŽŽ¦‘3$ªïsrc:80PART2.texW‘ÿee–¦falso“use“folloš²!wing“sym˜bMÞols:ަ’ºý©¿eŸûz•½0ŽŽŽ’ÆMº¹=ŽŽ’ÐHÏ¿eŸûz•½0ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿eŸûz•½0ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿eŸûz•½0ŽŸ:j3ŽŽŽŽ’¢}x¹(7)ŽŽŽŸ‚’´a1¿eŸûz•ó¾KÈ cmsy8ý1ŽŽŽ’ÆMº¹=ŽŽ’ÐHÏ¿eŸûeý1ŽŸ–¿1ŽŽ– Ëh¹+›nì¿eŸûeý1ŽŸ–¿2ŽŽ“¹+˜¿eŸûeý1ŽŸ–¿3ŽŽŽŽ’¢}x¹(8)ŽŽŽŸ¾’’´a1¿eŸûz•ý2ŽŽŽ’ÆMº¹=ŽŽ’ÐHÏ¿eŸûeý2ŽŸ–¿1ŽŽ– Ëh¹+›nì¿eŸûeý2ŽŸ–¿2ŽŽ“¹+˜¿eŸûeý2ŽŸ–¿3ŽŽŽŽ’¢}x¹(9)ŽŽŽŸ#ÀŸø’É ˆ.ޤ’É ˆ.Ž¡’É ˆ.ŽŽŽŽŽŸ’³xå¿eŸûz•ÃÀnŽŽŽ’ÆMº¹=ŽŽ’ÐHÏ¿eŸûeÃÀnŽŸ–¿½1ŽŽ–³´¹+›nì¿eŸûeÃÀnŽŸ–¿½2ŽŽ“¹+˜¿eŸûeÃÀnŽŸ–¿½3ŽŽŽŽ’Þ¹(10)ŽŽŽ¦‘3$ªïsrc:90PART2.texwhere–›Ä¿n“¹is“an“arbitrary“pMÞositivš²!e“in˜teger.‘ÚRAs“a“spMÞecial“usage,‘äw˜e“will“reserv˜e“ohitŽŸ ‘"$ªR‘¦fas:ަ‘|ÞX¿R‘ O¹=‘ §¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘Ê«¹=‘ §¿rŸ¤z½1Ž‘À¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ“¹+˜¿rŸ¤z½2Ž‘À¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿rŸ¤z½3Ž‘À¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽŽŽ’Þ¹(11)ŽŽŽŸRì‘3$ªïsrc:99PART2.tex‘ñÃÓ‘Ó1ÈSecondŽ‘(z ¹,‘± The–¦fBasic“Algebra“of“W‘ÿeeqs“of“OhitorsŽ‘± Ÿº¥‰fe¶—fŽŽŸaD‘3$ªïsrc:103PART2.texF‘ÿeor–¦fthe“additions“and“subtractions“of“x-wš²!eqs,“w˜e“ha˜v˜e“follo˜wing:ަ’Œ1ú¿a¹(¿xŸûz•À Ž–õ—¿eŸûz•À ŽŸ:j½1ŽŽ“¹)–nì“¿b¹(¿xŸûz•À Ž–õ—¿eŸûz•À ŽŸ:j½1ŽŽ“¹)– §=“(¿a–nì“¿b¹)(¿xŸûz•À Ž–õ—¿eŸûz•À ŽŸ:j½1ŽŽ“¹)ŽŽ’Ý(12)ŽŽŽ¦‘3$ªïsrc:110PART2.texwhere–¦f¿ ‘°Æ¹is“an“arbitrary“pMÞositivš²!e“or“negativ˜e“in˜teger,“a“and“b“are“real“n˜um˜bMÞers.ŽŽŸv„’æ“43ŽŽŒ‹Ý u0’ ý³CU 1F' ý홊‘3$ªïsrc:112PART2.tex¹F‘ÿeor–¦fthe“x-wš²!eqs“m˜ultiplication“and“divisions,“w˜e“ha˜v˜e:ޤR“‘hÞî(¿xŸûz•À Ž–õ—¿eŸûz•À ŽŸ:j½1ŽŽ“¹)–nì“¿eŸûz•½0ŽŸ:j1ŽŽ‘Ê«¹=‘ §(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)Ÿûz•À Ž‘dƒÂ“¹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ˜¹)Ÿûz•½0Ž‘Ê«¹=– §(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ˜¹)Ÿûz•À ½+0Ž‘ܺ¹=“¿xŸûz•À Ž‘õ—¿eŸûz•À ŽŸ:j½1ŽŽŽŽ’ݹ(13)ŽŽŽ¡‘3$ªïsrc:121PART2.texand:Ž¡’”N(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)–n쓹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ˜¹)– §=“(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ˜¹)Ÿûz•½2Ž‘ ÕR¹=‘N¿xŸûz•½2Ž˜¿eŸûz•½2ŽŸ:j1ŽŽŽŽ’Þ¹(14)ŽŽŽŸj ’”N(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)–n쓹(¿xŸûz•½2Ž˜¿eŸûz•½2ŽŸ:j1ŽŽ˜¹)– §=“(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ˜¹)Ÿûz•½3Ž‘ ÕR¹=‘N¿xŸûz•½3Ž˜¿eŸûz•½3ŽŸ:j1ŽŽŽŽ’Þ¹(15)ŽŽŽŸä°Ÿø’Àê.ޤ’Àê.Ž¡’Àê.ŽŽŽŽŽ©’”N(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)–n쓹(¿xŸûz•ÀnŽ–¨P¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½1ŽŽ“¹)– §=“(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ˜¹)Ÿûz•Àn½+1Ž‘š¹=‘N¿xŸûz•Àn½+1Ž‘„Ì¿eŸûeÀn½+1ŽŸ–¿1ŽŽŽŽ’Þ¹(16)ŽŽŽ¡‘3$ªïsrc:130PART2.texand:Ž¡’ƒƒU(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)–n쓹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ˜¹)– §=“(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ˜¹)Ÿûz•½0Ž‘Ê«¹=“¿xŸûz•½0Ž˜¿eŸûz•½0ŽŸ:j1ŽŽ›Ê«¹=“¿eŸûz•½0ŽŸ:j1ŽŽ˜Â6“¹1ŽŽ’Þ(17)ŽŽŽŸ‚’ƒƒU(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)–n쓹(¿xŸûz•½2Ž˜¿eŸûz•½2ŽŸ:j1ŽŽ˜¹)– §=“(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ˜¹)Ÿûz•ý1Ž‘g#¹=“¿xŸûz•ý1Ž‘ \|¿eŸûeý1ŽŸ–¿1ŽŽŽŽ’Þ¹(18)ŽŽŽŸ#ÀŸø’¯P).ޤ’¯P).Ž¡’¯P).ŽŽŽŽŽ¦’ƒƒU(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)–n쓹(¿xŸûz•ÀnŽ–¨P¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½1ŽŽ“¹)– §=“(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ˜¹)Ÿûz•ý(Àný1)Ž‘ Èc¹=“¿xŸûz•ý(Àný1)Ž‘½¼¿eŸú:uý(Àný1)ŽŸÁg1ŽŽŽŽ’Þ¹(19)ŽŽŽ¡‘3$ªïsrc:140PART2.texwhere–pÝ¿ ‘{=¹is“an“arbitrary“inš²!teger,‘£zn“is“a“pMÞositiv˜e“in˜teger.‘=BSimilarly“w˜e“ha˜v˜e“theŽ© ‘"$ªsame–¦fidenš²!tities“for“y-w˜eqs“and“w˜eqs-z:ŽŸU¡’›‚(¿yd“Ÿûz•À Ž‘Z*¿eŸûz•À ŽŸ:j½2ŽŽ‘õ—¹)–n쓹(¿yd“Ÿûz•À Ž‘Ï¿eŸú¬<À ŽŸO ½2ŽŽ‘®<¹)– §=“¿yd“Ÿûz•À ½+À Ž‘$Þ¿eŸú¬<À ½+À ŽŸO ½2ŽŽŽŽ’Þ¹(20)ŽŽŽ¤ÝÙ’›‚(¿yd“Ÿûz•À Ž‘Z*¿eŸûz•À ŽŸ:j½2ŽŽ‘õ—¹)–n쓹(¿yd“Ÿûz•À Ž‘Ï¿eŸú¬<À ŽŸO ½2ŽŽ‘®<¹)– §=“¿yd“Ÿûz•À ÃÀ Ž‘$Þ¿eŸú¬<À ÃÀ ŽŸO ½2ŽŽŽŽ’Þ¹(21)ŽŽŽ¡’›¯‘(¿z{IŸûz•À Ž‘pà¿eŸûz•À ŽŸ:j½3ŽŽ‘õ—¹)–n쓹(¿z{IŸûz•À Ž‘)…¿eŸú¬<À ŽŸO ½3ŽŽ‘®<¹)– §=“¿z{IŸûz•À ½+À Ž‘;”¿eŸú¬<À ½+À ŽŸO ½3ŽŽŽŽ’Þ¹(22)ŽŽŽ¡’›¯‘(¿z{IŸûz•À Ž‘pà¿eŸûz•À ŽŸ:j½3ŽŽ‘õ—¹)–n쓹(¿z{IŸûz•À Ž‘)…¿eŸú¬<À ŽŸO ½3ŽŽ‘®<¹)– §=“¿z{IŸûz•À ÃÀ Ž‘;”¿eŸú¬<À ÃÀ ŽŸO ½3ŽŽŽŽ’Þ¹(23)ŽŽŽ¤R“‘3$ªïsrc:154PART2.texwhere–¦f¿ ‘°Æ¹and“¿ ‘:X¹are“anš²!y“arbitrary“in˜tegers.ŽŸyš‘3$ªïsrc:158PART2.tex‘ñÃÓ‘Ó1ÈThirdŽ‘!B©¹,‘± U-Space–¦fEeds“Orthogonal“PropMÞerties“or“U-EOPŽ‘± Ÿº¥‰feä¬8ŽŽŸaD‘3$ªïsrc:163PART2.texAlthough–x:eed-x,›veed-y“and“eed-z“are“three“non-separable“elemen²!ts,˜they“are“alsoަ‘"$ª\non-relev–ÿdDanš²!t".‘`These‘înon-relev“an˜t–îpropšMÞerties“can“b˜e“expressed“as“\Eeds“Orthogonalަ‘"$ªPropMÞerties",–¦fand“abbreviated“to“\EOP".“The“U-Space“EOP“or“U-EOP“is:Ž¡’ļ¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ‘.ð‘nì¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ‘Ê«¹=‘ §0ŽŽ’Þ(24)ŽŽŽ¤j ’ļ¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ‘.ð‘nì¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘Ê«¹=‘ §0ŽŽ’Þ(25)ŽŽŽ¡’ļ¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘.ð‘nì¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ‘Ê«¹=‘ §0ŽŽ’Þ(26)ŽŽŽŸR“‘3$ªïsrc:173PART2.texActually–ØŠthe“abMÞo•²!v“e›ØŠiden“tities˜hold˜for˜an“y˜t“w“o˜di eren“t˜eeds.‘tIThe˜follo“wing˜areŽŸ‘"$ªthe–¦fpropMÞerties“for“eedŸü¾À Ž–õ—¹=Âf¿eŸü¾À ŽŸÁg½1ŽŽ“¿;›Ó1eŸü¾À ŽŸÁg½2ŽŽ“¿;˜eŸü¾À ŽŸÁg½3ŽŽ“Âg–¦f¹and“eedŸü¾À Ž–®<¹=Âf¿eŸú¬<À ŽŸO ½1ŽŽ“¿;˜eŸú¬<À ŽŸO ½2ŽŽ“¿;˜eŸú¬<À ŽŸO ½3ŽŽ“Âg¹:ŽŸ0l‘@â¿eŸûz•À ŽŸ:j½1ŽŽ‘dƒÂ–nì¿eŸú¬<À ŽŸO ½2ŽŽ‘¸ã¹=› §(¿eŸûeÀ ý1ŽŸ–¿1ŽŽ‘@ÿ“¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ‘À¹)““¹(¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ‘.ð“¿eŸú¬<À i>ý1ŽŸO 2ŽŽ‘Џ¹)˜=˜¿eŸûeÀ ý1ŽŸ–¿1ŽŽ‘@ÿ“¹(¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ‘.ð“¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ‘À¹)““¿eŸú¬<À i>ý1ŽŸO 2ŽŽ‘•_¹=˜0ŽŽ’Ý(27)ŽŽŽ¤ÝÙ‘@â¿eŸûz•À ŽŸ:j½2ŽŽ‘dƒÂ–nì¿eŸú¬<À ŽŸO ½3ŽŽ‘¸ã¹=› §(¿eŸûeÀ ý1ŽŸ–¿2ŽŽ‘@ÿ“¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ‘À¹)““¹(¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘.ð“¿eŸú¬<À i>ý1ŽŸO 3ŽŽ‘Џ¹)˜=˜¿eŸûeÀ ý1ŽŸ–¿2ŽŽ‘@ÿ“¹(¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ‘.ð“¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)““¿eŸú¬<À i>ý1ŽŸO 3ŽŽ‘•_¹=˜0ŽŽ’Ý(28)ŽŽŽ¡‘@â¿eŸûz•À ŽŸ:j½3ŽŽ‘dƒÂ–nì¿eŸú¬<À ŽŸO ½1ŽŽ‘¸ã¹=› §(¿eŸûeÀ ý1ŽŸ–¿3ŽŽ‘@ÿ“¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)““¹(¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ‘.ð“¿eŸú¬<À i>ý1ŽŸO 1ŽŽ‘Џ¹)˜=˜¿eŸûeÀ ý1ŽŸ–¿3ŽŽ‘@ÿ“¹(¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘.ð“¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ‘À¹)““¿eŸú¬<À i>ý1ŽŸO 1ŽŽ‘•_¹=˜0ŽŽ’Ý(29)ŽŽŽŽŸv„’æ“44ŽŽŒ‹*™ u0’ ý³CU 1F' ý홊‘3$ªïsrc:189PART2.tex¹where–æ¿ ‘˜F¹and“¿ ‘!عare“anš²!y“in˜tegers.‘Õ²And“the“concept“eed“is“dev˜elopšMÞed“to“the“p˜o•²!w“erޤ ‘"$ª¿ ‘°Æ¹and‘¦f¿ ‘:X¹here.Ž¡‘3$ªïsrc:192PART2.texAs–¦fa“spMÞecial“case,“wš²!e'll“list“the“follo˜wing“frequen˜tly“used“zenk“EOP“of“U-Space:Ž©’ļ¿eŸûz•½0ŽŸ:j1ŽŽ‘.ð‘nì¿eŸûz•½0ŽŸ:j2ŽŽ‘Ê«¹=‘ §0ŽŽ’Þ(30)ŽŽŽ¤j ’ļ¿eŸûz•½0ŽŸ:j2ŽŽ‘.ð‘nì¿eŸûz•½0ŽŸ:j3ŽŽ‘Ê«¹=‘ §0ŽŽ’Þ(31)ŽŽŽ¡’ļ¿eŸûz•½0ŽŸ:j3ŽŽ‘.ð‘nì¿eŸûz•½0ŽŸ:j1ŽŽ‘Ê«¹=‘ §0ŽŽ’Þ(32)ŽŽŽŸyš‘3$ªïsrc:202PART2.tex‘ñÃÓ‘Ó1ÈF‘þó\ourthŽ‘'ç¹,‘± More–¦fNotations“Whic²!h“Will“Be“Used“in“the“F‘ÿeutureŽ‘± Ÿ™”‰feôÙŽŽŸaD‘3$ªïsrc:207PART2.texIn–š‡Y‘ÿeun-Qi“Kingdom,›Ða“function“of“an“ohit“or“ohitor“is“called“\tornado",˜a“functionޤ ‘"$ªof–c8a“v›ÿdDaria“or“v˜ariable“is“called“\pathcom".‘TThe“w²!ord“\function"“also“is“used,‘’lbutŽ¡‘"$ªit–Y…only“means“the“general“function“wš²!e“use“toMÞda˜y‘ÿe.‘÷9The“tornados“and“functions“areŽ¡‘"$ªfundamen•²!tally›Ydi eren“t.–ÄW‘ÿee˜can˜not˜mix˜them˜up˜together.“They˜can˜bMÞe˜connectedŽ¡‘"$ªonly–¦fb²!y“some“spšMÞecial“op˜erations.‘ÝÝSection“7“will“discuss“that.Ž¡‘3$ªïsrc:213PART2.texF›ÿeor– further“understanding“Y˜un-Qi“notations,‘¡Knoš²!w“I'll“use“the“follo˜wing“ohit“tor-Ž¡‘"$ªnado–¦fas“an“example“to“shoš²!w“y˜ou“more“sym˜bMÞols:ަ‘saO(¿R¨¹)ŽŽ’«=ŽŽ’—¦(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)ŽŽ’Þ(33)ŽŽŽŸNó’«=ŽŽŸóC1’œfý+Ã1ŽŸ ¼Ï’œ¼ŸöC0óú±u cmex10«XŽŽŸ 7Ê’—¦Ài½=Ã1ŽŽ’²¿aŸ¤zÀiŽ‘dÚ¿R¨Ÿûz•ÀiŽŽŽ’Þ¹(34)ŽŽŽ¤$ŸI’«=ŽŽŸóC1’œfý+Ã1ŽŸ ¼Ï’œ¼ŸöC0«XŽŽŸ 7Ê’—¦Ài½=Ã1ŽŽ’²¿aŸ¤zÀiŽ–dÚ¿xŸûz•ÀiŽ“¿eŸûz•ÀiŽŸ:j½1ŽŽ›.ð¹+ŸóC1‘/•½+Ã1ŽŸ ¼Ï‘„ñŸöC0«XŽŽŸ 7Ê‘nìÀi½=Ã1ŽŽ‘ßï¿aŸ¤zÀiŽ“¿yd“Ÿûz•ÀiŽ‘Ém¿eŸûz•ÀiŽŸ:j½2ŽŽ˜¹+ŸóC1‘/•½+Ã1ŽŸ ¼Ï‘„ñŸöC0«XŽŽŸ 7Ê‘nìÀi½=Ã1ŽŽ‘ßï¿aŸ¤zÀiŽ“¿z{IŸûz•ÀiŽ‘à#¿eŸûz•ÀiŽŸ:j½3ŽŽŽŽ’Þ¹(35)ŽŽŽ¡’«=ŽŽŸóC1’œfý+Ã1ŽŸ ¼Ï’œ¼ŸöC0«XŽŽŸ 7Ê’—¦Ài½=Ã1ŽŽ’²¿aŸ¤zÀiŽ–dÚ¿xŸûz•ÀiŽ“¿eŸûz•ÀiŽŸ:j½1ŽŽ–.ð¹+ŸóC1‘°-½+Ã1ŽŸ ¼Ï‘‰ŸöC0«XŽŽŸ 7Ê‘nìÀjv½=Ã1ŽŽ‘á¿aŸ¤zÀjŽ‘f ¿yd“Ÿûz•ÀjŽ‘Ê¿eŸú¬<ÀjŽŸO ½2ŽŽ“¹+ŸóC1‘ñ½+Ã1ŽŸ ¼Ï‘dMŸöC0«XŽŽŸ |‘nìÀk6…½=Ã1ŽŽ‘ž§¿aŸÈ®ÀkŽ‘#’¿z{IŸûz•ÀkŽ‘žÛ¿eŸûz•ÀkŽŸ:j½3ŽŽŽŽ’Þ¹(36)ŽŽŽŸ"`­‘3$ªïsrc:228PART2.texThe–ãiohit“tornado“is“compMÞosed“of“three“\tunnels",‘ò©whic²!h“are“named“\tunnel-x",Ž© ‘"$ª\tunnel-y"–¦fand“\tunnel-z".‘ÝÝThey“are:ŽŸ ³8’¯•tunnel–þȊ“¹xŽŽ’Ý&ƒ=ŽŽŸóC1’ëâA½+Ã1ŽŸ ¼Ï’ì7ŸöC0«XŽŽŸ 7Ê’ç!˜Ài½=Ã1ŽŽ’’›¿aŸ¤zÀiŽ–dÚ¿xŸûz•ÀiŽ“¿eŸûz•ÀiŽŸ:j½1ŽŽŽŽ’Þ¹(37)ŽŽŽ¡’¯ntunnel–þȊ“¹yŽŽ’Ý&ƒ=ŽŽŸóC1’ìbÙ½+Ã1ŽŸ ¼Ï’ì¸5ŸöC0«XŽŽŸ 7Ê’ç!˜Àjv½=Ã1ŽŽ’“Ë¿aŸ¤zÀjŽ‘f ¿yd“Ÿûz•ÀjŽ‘Ê¿eŸú¬<ÀjŽŸO ½2ŽŽŽŽ’Þ¹(38)ŽŽŽŸ%X*’°~tunnel–þȊ“¹zŽŽ’Ý&ƒ=ŽŽŸóC1’ìÁ½+Ã1ŽŸ ¼Ï’íùŸöC0«XŽŽŸ |’ç!˜Àk6…½=Ã1ŽŽ’QS¿aŸÈ®ÀkŽ‘#’¿z{IŸûz•ÀkŽ‘žÛ¿eŸûz•ÀkŽŸ:j½3ŽŽŽŽ’Þ¹(39)ŽŽŽŸ!ì‘3$ªïsrc:237PART2.texSimilar–\Õto“eeds,‘Špvš²!ogs“and“w˜eqs,‘Špthese“three“tunnels“can“not“exist“alone.‘*Theyަ‘"$ªare–"Çthree“non-separable“elemenš²!ts“of“a“tornado.‘ SThey“are“alw˜a˜ys“com˜bining“andަ‘"$ªappMÞearing‘¦ftogether.ŽŽŸv„’æ“45ŽŽŒ‹<ð u0’ ý³CU 1F' ý홊‘3$ªïsrc:240PART2.tex¹The–žJv‘ÿdDaria“pathcom“is“compMÞosed“of“three“\paths",‘ÜCwhic²!h“are“named“\path-x",ޤ ‘"$ª\path-y"–¦fand“\path-z".‘ÝÝThey“are:ŽŸ @’¸õŒpath–þȊ“¹xŽŽ’ÞÈ=ŽŽŸóC1’쾆½+Ã1ŽŸ ¼Ï’íâŸöC0«XŽŽŸ 7Ê’çýÝÀi½=Ã1ŽŽ’nà¿aŸ¤zÀiŽ‘dÚ¿xŸûz•ÀiŽŽŽ’ݹ(40)ŽŽŽŸ$ŸI’¸Îžpath–þȊ“¹yŽŽ’ÞÈ=ŽŽŸóC1’í?½+Ã1ŽŸ ¼Ï’í”zŸöC0«XŽŽŸ 7Ê’çýÝÀjv½=Ã1ŽŽ’p¿aŸ¤zÀjŽ‘f ¿yd“Ÿûz•ÀjŽŽŽ’ݹ(41)ŽŽŽŸ%X*’¹ß'path–þȊ“¹zŽŽ’ÞÈ=ŽŽŸóC1’íâ½+Ã1ŽŸ ¼Ï’íó>ŸöC0«XŽŽŸ |’çýÝÀk6…½=Ã1ŽŽ’-˜¿aŸÈ®ÀkŽ‘#’¿z{IŸûz•ÀkŽŽŽ’ݹ(42)ŽŽŽŸ!y‚‘3$ªïsrc:249PART2.texSimilar–k‘to“the“abMÞo•²!v“e–k‘tunnels,‘œÛthese“three“paths“can“not“exist“alone.‘-]They“areŽ¡‘"$ªthree–¦fnon-separable“elemen²!ts“of“a“pathcom.Ž¡‘3$ªïsrc:252PART2.texSometimes–pwš²!e“ma˜y“also“denote“¿R¨Ÿü¾ÀnŽ‘ .¹b˜y“\‘Ó1ohitorŸü¾ÀnŽ‘{¹".‘ËÄW‘ÿee'll“treat“it“same“as“a“singleŽ¡‘"$ªohitor.‘ÝÝW‘ÿee–¦fmaš²!y“write“the“follo˜wings:ޤe‘NX"ohitorŽ‘j÷fŸûz•ý1Ž‘y^‰¹=– §¿R¨Ÿûz•ý1Ž› r$¹;‘ ÆfohitorŽ‘)eªŸûz•ý2Ž‘7Ì͹=“¿R¨Ÿûz•ý2Ž˜¹;‘ Æf–Ó1“Ž‘j¡¹;‘ ÆfohitorŽ‘)eªŸûz•ÃÀnŽ‘8µ¹=“¿R¨Ÿûz•ÃÀnŽŽŽ’Þ¹(43)ŽŽŽ¡‘3$ªïsrc:262PART2.texand–¦falso“wš²!e“can“write“follo˜wing“ohitors'“sets:Ž¡’©7ƒohitorŽ’ÅÖÇŸûz•ý2À;½5ŽŽŽ’ÙFй=ŽŽ’ãAŸÂf¿R¨Ÿûz•ý2Ž‘ r$¿;‘Ó1R¨Ÿûz•½5ޑլÂgŽŽ’Þ¹(44)ŽŽŽ¤j ’›þ“ohitorŽ’¸×Ÿûz•ý9À;ý5À;½3ŽŽŽ’ÙFй=ŽŽ’ãAŸÂf¿R¨Ÿûz•ý9Ž– r$¿;›Ó1R¨Ÿûz•ý5Ž“¿;˜R¨Ÿûz•½3ޑլÂgŽŽ’Þ¹(45)ŽŽŽ¡’›…¯ohitorŽ’¸$óŸûz•½1À;½2À;ÃŽ‘\À;½50ŽŽŽ’ÙFй=ŽŽ’ãAŸÂf¿R¨Ÿûz•½1Ž–Õ¬¿;›Ó1R¨Ÿûz•½2Ž“¿;˜Â˜˜Ž‘lÅ¿;˜R¨Ÿûz•½50Ž‘ °ÂgŽŽ’Þ¹(46)ŽŽŽ¤e‘3$ªïsrc:273PART2.texThe–¦fsame“pMÞo•²!w“er›¦flev“el˜of˜ohit˜R˜in˜a˜tornado˜is˜called˜\exit".‘ÝÝThey˜are:Ž¡’¸èexitŽ’ÊÚ+ŸûÚ‡½0Ž’Ò¤Ö¹=– §¿aŸ¤z½0Ž‘À¿R¨Ÿü¾½0Ž‘àS¹=“¿aŸ¤z½0Ž‘.ð¿Z‘ûNîÂjŽŽŽ’ݹ(47)ŽŽŽ¤ ‘nNqexitŽ’€@–ŸûÚ‡½1Ž’ˆ A¹=– §¿aŸ¤z½1Ž›À¿R¨¹;‘ ÆfexitŽ‘¸‹ŸûÚ‡½2Ž‘&ƒ6¹=“¿aŸ¤z½2Ž˜¿R¨Ÿü¾½2ޑլ¹;‘ Æf–Ó1“Ž‘j¡¹;‘ ÆfexitŽ‘¸‹ŸûÚ‡ÀnŽ‘'k‚¹=“¿aŸ¤zÀnŽ‘¨P¿R¨Ÿü¾ÀnŽŽŽ’ݹ(48)ŽŽŽ¡‘N.SexitŽ‘` xŸûڇý1Ž‘n‡›¹=– §¿aŸ¤zý1Ž› \|¿R¨Ÿü¾Ã½1Ž‘ r$¹;‘ ÆfexitŽ‘¸‹Ÿûڇý2Ž‘-®¹=“¿aŸ¤zý2Ž˜¿R¨Ÿü¾Ã½2Ž‘ r$¹;‘ Æf–Ó1“Ž‘j¡¹;‘ ÆfexitŽ‘¸‹ŸûÚ‡ÃÀnŽ‘.ú¹=“¿aŸ¤zÃÀnŽ‘ DÈ¿R¨Ÿü¾ÃÀnŽŽŽ’ݹ(49)ŽŽŽ¤e‘3$ªïsrc:287PART2.texwš²!e–¦falso“can“use“follo˜wing“expressions“to“denote“the“exits'“sets:Ž¡’†ªexitŸûz•ý7À;ý2À;½9ŽŽŽ’¹DÛ¹=ŽŽ’Ã?ðÂf¿aŸ¤zý7Ž– \|¿R¨Ÿûz•ý7Ž› r$¿;‘Ó1aŸ¤zý2Ž“¿R¨Ÿûz•ý2Ž˜¿;‘Ó1aŸ¤z½9Ž‘À¿R¨Ÿûz•½9ޑլÂgŽŽ’ݹ(50)ŽŽŽ¤j ’„ÆsexitŸûz•ý5À;½13À;½23ŽŽŽ’¹DÛ¹=ŽŽ’Ã?ðÂf¿aŸ¤zý5Ž‘ \|¿R¨Ÿûz•ý5Ž‘ r$¿;–Ó1aŸ¤z½13Ž› ¿R¨Ÿûz•½13Ž‘ °¿;“aŸ¤z½23Ž˜¿R¨Ÿûz•½23Ž‘ °ÂgŽŽ’ݹ(51)ŽŽŽ¡‘t¸+exitŸûz•ý10À;ý9À;ÃŽ‘\À;½31ŽŽŽ’¹DÛ¹=ŽŽ’Ã?ðÂf¿aŸ¤zý10Ž‘œ€¿R¨Ÿûz•ý10Ž‘²(¿;–Ó1aŸ¤zý9Ž‘ \|¿R¨Ÿûz•ý9Ž‘ r$¿;“““Ž‘lÅ¿;“aŸ¤z½31Ž‘ ¿R¨Ÿûz•½31Ž‘ °ÂgŽŽ’ݹ(52)ŽŽŽ¤e‘3$ªïsrc:298PART2.texThe–á±follo²!wing“notations“are“helpful“for“further“understanding“the“new“conceptsŽŸ ‘"$ªthat–¦fwš²!e“ha˜v˜e“de ned“in“this“section:Ž¡‘Gpeed-¿xŸü¾½5Ž‘Ê«¹=– §¿eŸü¾½5ŽŸÁg1ŽŽ›À¹;‘ Wsy-eedŸü¾Ã½3À;½4Ž‘›¹=“Âf¿eŸûeý3ŽŸ–¿2ŽŽ‘ \|¿;‘Ó1eŸü¾½4ŽŸÁg2ŽŽ˜Âg¹;‘ Wsz-eedŸü¾Ã½7À;ý2À;½3Ž‘"<‹¹=“Âf¿eŸûeý7ŽŸ–¿3ŽŽ– \|¿;›Ó1eŸûeý2ŽŸ–¿3ŽŽ“¿;˜eŸü¾½3ŽŸÁg3ŽŽ‘ÀÂgŽŽŽŽ¤’$q¹eedŸü¾ÀmŽ› k¹=– §Âf¿eŸü¾ÀmŽ‘ÄÂg“¹=“Âf¿eÂgŸü¾ÀmŽ˜¹=“Âf¿eŸü¾ÀmŽŸÁg½1ŽŽ–Ä¿;›Ó1eŸü¾ÀmŽŸÁg½2ŽŽ“¿;˜eŸü¾ÀmŽŸÁg½3ŽŽ“ÂgŽŽŽŽ¡‘K,¹x-vš²!ogŸü¾½3À;½4Ž‘g#¹=‘ §Âf¿xŸü¾½3Ž–À¿;‘Ó1xŸü¾½4Ž“Âg¹;– Wsv˜og-yŸü¾Ã½3Ž‘g#¹=‘ §¿yd“Ÿü¾Ã½3Ž‘ Á¹;“z-v˜ogŸü¾Ã½1À;½0À;½9Ž‘ ¹=‘ §Âf¿z{IŸü¾Ã½1Ž‘ ×Å¿;–Ó1z{IŸü¾½0Ž›;M¿;“z{IŸü¾½9Ž˜ÂgŽŽŽŽŽŸv„’æ“4¹6ŽŽŒ‹J u0’ ý³CU 1F' ý홊’‹‹'¹v²!ogŸü¾ÀmŽ› k¹=– §Âf¿rMÞŸü¾ÀmŽ‘R¢Âg“¹=“Âf¿rMÞÂgŸü¾ÀmŽ˜¹=“Âf¿xŸü¾ÀmŽ‘Ä¿;–Ó1yd“Ÿü¾ÀmŽ‘iW¿;“z{IŸü¾ÀmŽ‘€ ÂgŽŽŽŽ¤’‹pö¹v²!ogŸü¾Àm;nŽ›”/¹=– §Âf¿rMÞŸü¾Àm;nŽ‘×fÂg“¹=“Âf¿rMÞÂgŸü¾Àm;nŽ˜¹=“Âf¿rMÞŸü¾ÀmŽ‘R¢¿;‘Ó1rMÞŸü¾ÀnŽ‘ö.ÂgŽŽŽŽ¡‘:üƹwš²!eq-xŸü¾½2Ž‘Ê«¹=‘ §¿xŸü¾½2Ž–À¿eŸü¾½2ŽŸÁg1ŽŽ“¹;‘ Wsy-w˜eqŸü¾Ã½11À;½23Ž‘ƒ£¹=‘ §Âf¹(¿yšd“eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹)Ÿü¾Ã½11Ž‘œ€¿;‘Ó1¹(¿y˜eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹)Ÿü¾½23Ž‘ Âg¹;‘ Wsz-w²!eqŸü¾Ã½7Ž‘g#¹=‘ §(¿z{IeŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ“¹)Ÿü¾Ã½7ŽŽŽŽŽ¡’ŠÚ ¹w²!eqŸü¾ÀmŽ–Ĺ=Âf¿rMÞeÂgŸü¾ÀmŽ‘ k¹=‘ §Âf¿xŸü¾ÀmŽ“¿eŸü¾ÀmŽŸÁg½1ŽŽ“¿;›Ó1yd“Ÿü¾ÀmŽ‘iW¿eŸü¾ÀmŽŸÁg½2ŽŽ“¿;˜z{IŸü¾ÀmŽ‘€ ¿eŸü¾ÀmŽŸÁg½3ŽŽ“ÂgŽŽŽŽŸO ’‚&9¹w²!eqŸü¾Àm;n;lŽ‘‡Ä¹=Âf¿r•MÞeÂgŸü¾Àm;n;lŽ‘’k¹=‘ §Âf¹(¿r“e¹)Ÿü¾ÀmŽ‘Ä¿;›Ó1¹(¿r“e¹)Ÿü¾ÀnŽ‘¨P¿;˜¹(¿r“e¹)Ÿü¾ÀlŽ‘!ÈÂgŽŽŽŽ©‘3$ªïsrc:2PART3.texŽŸ€‘"$ªïsrc:4PART3.texÈI•Y‹I“I.‘2NUMBERS–=4 “ÈAND“‘öDP1ŽŽŸ6g‘3$ªïsrc:8PART3.tex¹In–¸îY‘ÿeun-Qi“Kingdom,‘ýthere“exist“t•²!w“o–¸îspšMÞecial“n•²!um“b˜ers–¸î\dorb"“and“\turq".‘uI'llޤ ‘"$ªdenote–Žpthem“bš²!y“\–Ó1 “¹"–Žpand“\‘Ó1‘öDP1Ž‘ b3¹".‘•ûThey“loMÞok“lik˜e“0“and“Â1¹,‘Èrbut“actually“are“moreŽ¡‘"$ªsimilar–¦fto“the“real“n•²!um“bMÞers.‘ÝÝThey–¦fare“plaš²!ying“the“vital“roles“in“the“realit˜y‘ÿe.ŽŸyš‘3$ªïsrc:14PART3.tex‘ñÃÓ‘Ó1ÈFirstŽ‘Kã¹,‘± The–¦fDe nitions“of“Numš²!bMÞer“Dorb“and“Num˜bMÞer“T‘ÿeurqŽ‘± Ÿº¥‰fe÷*ŽŽŸaD‘3$ªïsrc:19PART3.texAs–¦fwš²!e“kno˜w,“the“0“and“Â1“¹can“bMÞe“categorized“as“follo˜ws:ަ’Æ6á¿a–n쓹0– §=“Â1ŽŽ’ݹ(53)ŽŽŽ¤’ÇM•¿b–nì“1– §¹=“0ŽŽ’Ý(54)ŽŽŽ¡’ÇC…0–nì“1– §¹=“¿cŽŽ’ݹ(55)ŽŽŽ¦‘3$ªïsrc:27PART3.texwhere–¿µ¿a‘Ó1¹,‘<¿b“¹and“¿c“¹can–ì„bMÞe“anš²!y“non-zero“real“n˜um˜bMÞers.‘°7Note“that“in“Y‘ÿeun-Qiޤ ‘"$ªKingdom,‘the›n•²!um“b•MÞer˜zero˜app“ears˜in˜the˜denominator˜of˜a˜fraction˜is˜allo•²!w“ed˜forŽ¡‘"$ªthe–¢ösimplicitš²!y‘ÿe.‘ÓŽSo,‘âthe“expression“\a“n˜um˜bMÞer‘v'¿f‘£ã¹divide“b˜y“a“n˜um˜bMÞer‘v'¿h‘Ó1¹"“withoutŽ¡‘"$ªsp•MÞecifying‘èw¿h‘–¢Â6¹=‘Ó10,‘0þwill›Fb“e˜considered˜as˜a˜normal˜statemen²!t.‘*~F‘ÿeor˜the˜sp“ecial˜cases,Ž¡‘"$ªif–¬xbšMÞoth“n•²!um“b˜ers–©¿f‘­e¹and“¿h“¹are–¬xequal“to“zeros,›­üor“equal“to“in nities,˜the“v‘ÿdDalue“of“theŽ¡‘"$ªabšMÞo•²!v“e–¦fdivision“can“b˜e“though²!t“as“\unsp˜eci ed",“the“w•²!a“y›¦flik“e˜w“e˜treat˜them˜toMÞda“y‘ÿe.Ž¡‘3$ªïsrc:35PART3.texBut–¦fthese“t•²!w“o›¦fn“um“bMÞers,˜dorb˜and˜turq,˜ha“v“e˜the˜follo“wing˜spMÞeci ed˜meanings:ަ’ÅuR –nì“‘öDP1Ž‘5^¹=‘ §1ŽŽ’Ý(56)ŽŽŽ¤’ÅuR1–nì“ – §¹=“‘öDP1ŽŽŽ’ݹ(57)ŽŽŽ¡’ÅuR1–nì“‘öDP1Ž‘5^¹=‘ §Â ŽŽ’ݹ(58)ŽŽŽ¦‘3$ªïsrc:43PART3.texThey›¦fha•²!v“e˜follo“wing˜arithmetic˜opMÞerations˜of˜additions˜and˜subtractions:ަ’¦‹v¿a–nì “–Ó1¿b“ – §¹=“(¿a–nì“¿b¹)‘Ó1 – §6¹=“Â ŽŽ’Þ¹(59)ŽŽŽ¡’¤l¿a‘nì‘öDP1Ž›™£–Ó1¿b“‘öDP1Ž˜¹=‘ §(¿a–nì“¿b¹)‘Ó1‘öDP1Ž˜6¹=‘ §Â‘öDP1ŽŽŽ’Þ¹(60)ŽŽŽ¡’ËÌ}0–nì+“ – §¹=“Â ŽŽ’Þ¹(61)ŽŽŽ¡’Êlæ¿a–nì¹+“‘öDP1Ž‘5^¹=‘ §Â‘öDP1ŽŽŽ’Þ¹(62)ŽŽŽ¡’ÇØ8Â1–nì¹+“ – §¹=“Â1ŽŽ’Þ¹(63)ŽŽŽ¡’Ç“n‘Ó1¹,–¦fw˜e“ha˜v˜e:ŽŸ$ö’›Äa¿a–nì Ÿûz•ÀmŽ‘ s°¹+¿b‘Ó1 Ÿûz•ÀnŽ‘²÷¹=‘ §¿b“ Ÿûz•ÀnŽŽŽ’ݹ(89)ŽŽŽŸ’›Äa¿a‘nì‘öDP1Ž‘ *·Ÿûz•ÀmŽ‘žg¹+¿b‘ §Â‘öDP1Ž‘ ÆrŸûz•ÀnŽ‘yi¹=‘ §¿a‘nì‘öDP1Ž‘ *·Ÿûz•ÀmŽŽŽ’ݹ(90)ŽŽŽŸ¿ØŸø—ž’¢W:¿aŽ’œ÷”ŸÞȉfe‰ Ÿ t ŸüÖ0ÀmŽŽŽŽŽ’±"½¹+Ÿø—ž‘^å¿bŽ‘¢ŸÞȉfe,–Ÿ t ŸüÖ0ÀnŽŽŽŽŽ‘ ¹=– §¿a‘nì‘öDP1Ž‘ *·Ÿûz•ÀmŽ‘žg¹+¿b“‘öDP1Ž‘ ÆrŸûz•ÀnŽ‘yi¹=“¿a‘nì‘öDP1Ž‘ *·Ÿûz•ÀmŽŽŽ’ݹ(91)ŽŽŽ¡Ÿø—ž’¢òý¿aŽ’œ÷”ŸÞȉfeÀŸ t‘öDP1Ž‘ »ËŸüÇxÀmŽŽŽŽŽ’²ZB¹+Ÿø—ž‘ú¨¿bŽ‘¢ŸÞȉfedŸ t‘öDP1Ž‘ »ËŸüÇxÀnŽŽŽŽŽ‘D¹=– §¿a‘nì Ÿûz•ÀmŽ‘ s°¹+¿b›Ó1 Ÿûz•ÀnŽ‘²÷¹=“¿b˜Â Ÿûz•ÀnŽŽŽ’ݹ(92)ŽŽŽŸ¥¯‘3$ªïsrc:147PART3.tex‘ñÃÓ‘Ó1ÈThirdŽ‘!B©¹,‘± The–¦fUsages“of“Dorbs“and“T›ÿeurqs“in“Y˜un-Qi“KingdomŽ‘± Ÿº¥‰feúÉŽŽŸ£c‘3$ªïsrc:152PART3.texIn– ¹)¿eŸûz•½0ŽŸ:j3ŽŽŽŽ’—ŠD¹(108)ŽŽŽŸµÎ‘3$ªïsrc:140PART4.texwhere‘uí¿RŸ¤z½1Ž‘Ê«¹=‘ §¿xŸ¤z½1Ž–À¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ›Íý¹+‘ ù¿yŸ¤z½1Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ˜¹+‘ ù¿zŸ¤z½1Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ‘ "¹and‘I¿RŸ¤z½2Ž‘Ê«¹=‘ §¿xŸ¤z½2Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ˜¹+‘ ù¿yŸ¤z½2Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ˜¹+‘ ù¿zŸ¤z½2Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ“¹,‘žand–uíthe“zenk“EOPŽŸ ‘"$ªhas–¦falso“bMÞeen“used.ŽŽŸv„’ãÖg11ŽŽŒ‹ š£ u0’ ý³CU 1F' ý홊‘3$ªïsrc:145PART4.tex‘ñÃÓ‘Ó1ÈSecondŽ‘(z ¹,‘± The–¦fAlgebra“of“Ohitors“and“ExitsŽ‘± Ÿº¥‰fe¡ØçŽŽŸaD‘3$ªïsrc:149PART4.texF‘ÿeor–¦fohitors“additions“and“subtractions,“wš²!e“ha˜v˜e:ŽŸ§½‘uˆ.¿aR‘„”‘nì¿bRŽŽ’Ÿª¹=ŽŽ’©¥(¿a¹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)˜Â˜¿b¹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ“¹+˜¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)ŽŽŽ¤j ’Ÿª=ŽŽ’©¥((¿a–nì“¿b¹)¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›.ð¹+“(¿a““¿b¹)¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹+“(¿a““¿b¹)¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽŽŽŽ©’Ÿª¹=ŽŽ’©¥((¿a–nì“¿b¹)¿RŽŽ’—ŠD¹(109)ŽŽŽ¡‘l&¿aR¨Ÿûz•½2Ž‘D˜Â‘nì¿bR¨Ÿûz•½2ŽŽŽ’Ÿª¹=ŽŽ’©¥((¿a–nì“¿b¹)¿xŸûz•½2Ž‘À¿eŸûz•½2ŽŸ:j1ŽŽ›.ð¹+“(¿a““¿b¹)¿yd“Ÿûz•½2Ž‘$—¿eŸûz•½2ŽŸ:j2ŽŽ˜¹+“(¿a““¿b¹)¿z{IŸûz•½2Ž‘;M¿eŸûz•½2ŽŸ:j3ŽŽŽŽŽ¡’Ÿª¹=ŽŽ’©¥((¿a–nì“¿b¹)¿R¨Ÿûz•½2ŽŽŽ’—ŠD¹(110)ŽŽŽŸä°Ÿø’¢fá.ޤ’¢fá.Ž¡’¢fá.ŽŽŽŽŽ¦‘j7Ž¿aR¨Ÿûz•ÀnŽ‘,ä‘nì¿bR¨Ÿûz•ÀnŽŽŽ’Ÿª¹=ŽŽ’©¥((¿a–nì“¿b¹)¿xŸûz•ÀnŽ‘¨P¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½1ŽŽ›<¹+“(¿a““¿b¹)¿yd“Ÿûz•ÀnŽ‘ ã¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½2ŽŽ˜¹+“(¿a““¿b¹)¿z{IŸûz•ÀnŽ‘#™¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½3ŽŽŽŽŽ¦’Ÿª¹=ŽŽ’©¥((¿a–nì“¿b¹)¿R¨Ÿûz•ÀnŽŽŽ’—ŠD¹(111)ŽŽŽ¤§½‘3$ªïsrc:170PART4.texwhere–y—¿n“¹is–¦fan“pMÞositivš²!e“in˜teger.‘ÝÝF‘ÿeor“ohitors“m˜ultiplication,“there“are:Ž¡‘\©M¿R¨Ÿûz•½2ŽŽŽ‘kF8¹=ŽŽ‘uAM(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)˜Â˜¹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ“¹+˜¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)ŽŽŽ¤j ‘kF8=ŽŽ‘uAM(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ‘À¹)(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ–À¹)˜+˜(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹)(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+˜¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)ŽŽŽ¡‘uAM+(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)ŽŽŽ¡‘kF8=ŽŽ‘uAM(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–À¹)(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ“¹)–nì+“(¿y•d“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ›À¹)(¿y“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹)–nì+“(¿z•{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ˜¹)(¿z“eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ˜¹)ŽŽŽ¡‘kF8=ŽŽ‘uAM¿xŸûz•½2Ž‘À¿eŸûz•½2ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“Ÿûz•½2Ž‘$—¿eŸûz•½2ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸûz•½2Ž‘;M¿eŸûz•½2ŽŸ:j3ŽŽŽŽ’—ŠC¹(112)ŽŽŽ¡‘\©M¿R¨Ÿûz•½3ŽŽŽ‘kF8¹=ŽŽ‘uAM(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ–À¹)˜Â˜¹(¿xŸûz•½2Ž“¿eŸûz•½2ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+˜¿yd“Ÿûz•½2Ž‘$—¿eŸûz•½2ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸûz•½2Ž‘;M¿eŸûz•½2ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)ŽŽŽ¡‘kF8=ŽŽ‘uAM(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–À¹)(¿xŸûz•½2Ž“¿eŸûz•½2ŽŸ:j1ŽŽ“¹)–nì+“(¿y•d“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ›À¹)(¿y“Ÿûz•½2Ž‘$—¿eŸûz•½2ŽŸ:j2ŽŽ˜¹)–nì+“(¿z•{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ˜¹)(¿z“Ÿûz•½2Ž‘;M¿eŸûz•½2ŽŸ:j3ŽŽ˜¹)ŽŽŽ¡‘kF8=ŽŽ‘uAM¿xŸûz•½3Ž‘À¿eŸûz•½3ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“Ÿûz•½3Ž‘$—¿eŸûz•½3ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸûz•½3Ž‘;M¿eŸûz•½3ŽŸ:j3ŽŽŽŽ’—ŠC¹(113)ŽŽŽŸä°Ÿø‘n.ޤ‘n.Ž¡‘n.ŽŽŽŽŽ¦‘[Á¿R¨Ÿûz•ÀnŽŽŽ‘kF8¹=ŽŽ‘uAM(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)˜Â˜¹(¿xŸûz•Àný1Ž‘„Ì¿eŸûeÀný1ŽŸ–¿1ŽŽ–ó¸¹+˜¿yd“Ÿûz•Àný1Ž‘é_¿eŸûeÀný1ŽŸ–¿2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸûz•Àný1Ž‘¿eŸûeÀný1ŽŸ–¿3ŽŽ‘„̹)ŽŽŽŸ¾’‘kF8=ŽŽ‘uAM(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)(¿xŸûz•Àný1Ž–„Ì¿eŸûeÀný1ŽŸ–¿1ŽŽ“¹)–nì+“(¿y•d“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹)(¿y“Ÿûz•Àný1Ž‘é_¿eŸûeÀný1ŽŸ–¿2ŽŽ‘„̹)–nì+“(¿z•{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ˜¹)(¿z“Ÿûz•Àný1Ž‘¿eŸûeÀný1ŽŸ–¿3ŽŽ‘„̹)ŽŽŽ¦‘kF8=ŽŽ‘uAM¿xŸûz•ÀnŽ‘¨P¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½1ŽŽ–<¹+›nì¿yd“Ÿûz•ÀnŽ‘ ã¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸûz•ÀnŽ‘#™¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½3ŽŽŽŽ’—ŠC¹(114)ŽŽŽŸ§½‘3$ªïsrc:199PART4.texwhere–¦fthe“U-EOP“has“bMÞeen“used.‘ÝÝSimilarly‘ÿe,“wš²!e“ha˜v˜e“follo˜wing“ohitors“divisions:ŽŸREŸø—ž‘cÖÅ1Ž‘b`†ŸÞȉfefŸ t¿RŽŽŽŽŽ‘mp ¹=ŽŽŸø—ž’šÖ1Ž‘xžèŸÞȉfeIçôŸ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽ’ÆÄ¶¹=Ÿø—ž‘ Ó¿eŸü¾½0ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿eŸü¾½0ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿eŸü¾½0ŽŸÁg3ŽŽŽ‘=ÚŸÞȉfeIçôŸ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¤G‘mp ¹=ŽŽŸø—ž’˜¦A¿eŸü¾½0ŽŸÁg1ŽŽŽ‘xžèŸÞȉfeIçôŸ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽ’Æ(û¹+Ÿø—ž‘#©x¿eŸü¾½0ŽŸÁg2ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfeIçôŸ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽ‘Q,2¹+Ÿø—ž‘#©x¿eŸü¾½0ŽŸÁg3ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfeIçôŸ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¡‘mp ¹=ŽŽŸø—ž’˜¦A(¿eŸü¾½0ŽŸÁg1ŽŽ›À¹)–n쓹(¿eŸü¾½0ŽŸÁg1ŽŽ˜¹)Ž‘xžèŸÞȉfer+àŸ (¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽ–À¹)˜Â˜¹(¿eŸü:u½0ŽŸÁg1ŽŽ“¹)ŽŽŽŽ’îlç+Ÿø—ž‘#©x(¿eŸü¾½0ŽŸÁg2ŽŽ›À¹)–n쓹(¿eŸü¾½0ŽŸÁg2ŽŽ˜¹)Ž‘¢ŸÞȉfer+àŸ (¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽ–À¹)˜Â˜¹(¿eŸü:u½0ŽŸÁg2ŽŽ“¹)ŽŽŽŽŽŽŽ¡‘wkµ+Ÿø—ž‘!:Œ(¿eŸü¾½0ŽŸÁg3ŽŽ›À¹)–n쓹(¿eŸü¾½0ŽŸÁg3ŽŽ˜¹)Ž‘33ŸÞȉfer+àŸ (¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽ–À¹)˜Â˜¹(¿eŸü:u½0ŽŸÁg3ŽŽ“¹)ŽŽŽŽŽŽŽŽŸv„’ãÖg12ŽŽŒ‹ ´Ï u0’ ý³CU 1F' ýó#‘mp ¹=ŽŽŸø—ž‘{¿ö¿eŸü¾½0ŽŸÁg1ŽŽŽ‘xžèŸÞȉfe]Ÿ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽŽŽŽŽ’Œ\d¹+Ÿø—ž‘ƒ–¿eŸü¾½0ŽŸÁg2ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfeœ0Ÿ ¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽŽŽŽŽ–àn¹+Ÿø—ž‘k”¿eŸü¾½0ŽŸÁg3ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfel+Ÿ ¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽ‘L$¹=Ÿø—ž‘ ޼1Ž‘=ÚŸÞȉfe]Ÿ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽŽŽŽŽ‘ûV¹+Ÿø—ž‘³j1Ž‘¢ŸÞȉfeœ0Ÿ ¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽŽŽŽŽ“¹+Ÿø—ž‘›h1Ž‘¢ŸÞȉfel+Ÿ ¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(115)ŽŽŽ¤GŸø—ž‘avÃ1Ž‘] ‚ŸÞȉfe &Ÿ t¿R¨ŸüÖ0½2ŽŽŽŽŽŽ‘mp ¹=ŽŽŸø—ž’ŸÆG¿eŸü¾½0ŽŸÁg1ŽŽŽ‘xžèŸÞȉfeX(Ÿ ¿xŸüÖ0½2Ž‘À¿eŸü:u½2ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“ŸüÖ0½2Ž‘$—¿eŸü:u½2ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸüÖ0½2Ž‘;M¿eŸü:u½2ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽ’Ôi¹+Ÿø—ž‘*É~¿eŸü¾½0ŽŸÁg2ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfeX(Ÿ ¿xŸüÖ0½2Ž‘À¿eŸü:u½2ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“ŸüÖ0½2Ž‘$—¿eŸü:u½2ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸüÖ0½2Ž‘;M¿eŸü:u½2ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¡‘wkµ¹+Ÿø—ž‘(Z’¿eŸü¾½0ŽŸÁg3ŽŽŽ‘33ŸÞȉfeX(Ÿ ¿xŸüÖ0½2Ž‘À¿eŸü:u½2ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“ŸüÖ0½2Ž‘$—¿eŸü:u½2ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸüÖ0½2Ž‘;M¿eŸü:u½2ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¡‘mp ¹=ŽŽŸø—ž‘~ø¿eŸü¾½0ŽŸÁg1ŽŽŽ‘xžèŸÞȉfeÛaŸ ¿xŸüÖ0½2Ž‘À¿eŸü:u½2ŽŸÁg1ŽŽŽŽŽŽ’‘h¹+Ÿø—ž‘㘿eŸü¾½0ŽŸÁg2ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfe\4Ÿ ¿yd“ŸüÖ0½2Ž‘$—¿eŸü:u½2ŽŸÁg2ŽŽŽŽŽŽ– r¹+Ÿø—ž‘Ë–¿eŸü¾½0ŽŸÁg3ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfe,/Ÿ ¿z{IŸüÖ0½2Ž‘;M¿eŸü:u½2ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽ‘ (¹=Ÿø—ž‘ î¾1Ž‘=ÚŸÞȉfeÛaŸ ¿xŸüÖ0½2Ž‘À¿eŸü:u½2ŽŸÁg1ŽŽŽŽŽŽ‘»Z¹+Ÿø—ž‘ l1Ž‘¢ŸÞȉfe\4Ÿ ¿yd“ŸüÖ0½2Ž‘$—¿eŸü:u½2ŽŸÁg2ŽŽŽŽŽŽ“¹+Ÿø—ž‘ ûj1Ž‘¢ŸÞȉfe,/Ÿ ¿z{IŸüÖ0½2Ž‘;M¿eŸü:u½2ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(116)ŽŽŽŸº´Ÿø‘p-n.ޤ‘p-n.Ž¡‘p-n.ŽŽŽŽŽŸ‰wŸø—ž‘a1Ž‘\¸6ŸÞȉfehŸ t¿R¨ŸüÖ0ÀnŽŽŽŽŽŽ‘mp ¹=ŽŽŸø—ž’¢+¿eŸü¾½0ŽŸÁg1ŽŽŽ‘xžèŸÞȉfe]™ÈŸ t¿xŸüÖ0ÀnŽ‘¨P¿eŸü:uÀnŽŸÁg½1ŽŽ–<¹+›nì¿yd“ŸüÖ0ÀnŽ‘ ã¿eŸü:uÀnŽŸÁg½2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸüÖ0ÀnŽ‘#™¿eŸü:uÀnŽŸÁg½3ŽŽŽŽŽŽ’ÙÚϹ+Ÿø—ž‘-‚b¿eŸü¾½0ŽŸÁg2ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfe]™ÈŸ t¿xŸüÖ0ÀnŽ‘¨P¿eŸü:uÀnŽŸÁg½1ŽŽ–<¹+›nì¿yd“ŸüÖ0ÀnŽ‘ ã¿eŸü:uÀnŽŸÁg½2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸüÖ0ÀnŽ‘#™¿eŸü:uÀnŽŸÁg½3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¤.‘wkµ¹+Ÿø—ž‘+v¿eŸü¾½0ŽŸÁg3ŽŽŽ‘33ŸÞȉfe]™ÈŸ t¿xŸüÖ0ÀnŽ‘¨P¿eŸü:uÀnŽŸÁg½1ŽŽ–<¹+›nì¿yd“ŸüÖ0ÀnŽ‘ ã¿eŸü:uÀnŽŸÁg½2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸüÖ0ÀnŽ‘#™¿eŸü:uÀnŽŸÁg½3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¡‘mp ¹=ŽŽŸø—ž‘D¿eŸü¾½0ŽŸÁg1ŽŽŽ‘xžèŸÞȉfe«ùŸ t¿xŸüÖ0ÀnŽ‘¨P¿eŸü:uÀnŽŸÁg½1ŽŽŽŽŽŽ’’í¹+Ÿø—ž‘ Ëä¿eŸü¾½0ŽŸÁg2ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfe,ÌŸ t¿yd“ŸüÖ0ÀnŽ‘ ã¿eŸü:uÀnŽŸÁg½2ŽŽŽŽŽŽ–q ¹+Ÿø—ž‘ ³â¿eŸü¾½0ŽŸÁg3ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfeüÇŸ t¿z{IŸüÖ0ÀnŽ‘#™¿eŸü:uÀnŽŸÁg½3ŽŽŽŽŽŽ‘ÜÀ¹=Ÿø—ž‘ × 1Ž‘=ÚŸÞȉfe«ùŸ t¿xŸüÖ0ÀnŽ‘¨P¿eŸü:uÀnŽŸÁg½1ŽŽŽŽŽŽ‘‹ò¹+Ÿø—ž‘ û¸1Ž‘¢ŸÞȉfe,ÌŸ t¿yd“ŸüÖ0ÀnŽ‘ ã¿eŸü:uÀnŽŸÁg½2ŽŽŽŽŽŽ“¹+Ÿø—ž‘ ã¶1Ž‘¢ŸÞȉfeüÇŸ t¿z{IŸüÖ0ÀnŽ‘#™¿eŸü:uÀnŽŸÁg½3ŽŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(117)ŽŽŽŸa‘3$ªïsrc:240PART4.texwhere–9Qthe“plain“n•²!um“bMÞers›9Qha“v“e˜bMÞeen˜used˜for˜the˜n“umerators˜of˜all˜w“eqs˜in˜theޤ ‘"$ªabšMÞo•²!v“e–‚Îohitors“equations.‘ÒThe“plain“n•²!um“b˜ers›‚Îmak“e˜us˜easy˜to˜write˜and˜easy˜to˜use.Ž¡‘3$ªïsrc:243PART4.texBut–pôwš²!e“should“note“that,‘{¥when“w˜e“add“the“correspMÞonding“w˜eqs“together“to“formŽ¡‘"$ªa–Žôsingle“ohitor,‘Éthe“plain“n•²!um“bMÞers–Žôin“eacš²!h“w˜eq,‘Éno“matter“in“their“n˜umerators“orŽ¡‘"$ªdenominators,‘êmš²!ust–©LbMÞe“reco˜v˜ered“to“the“general“form“bMÞefore“the“additions“takingŽ¡‘"$ªplace.‘ÝÝHence,–¦fwš²!e“can“not“add“the“correspMÞonding“w˜eqs“in“the“follo˜wing“w˜a˜y:ŽŸ—ôŸø—ž‘U«Œ1Ž‘PZªŸÞȉfe]Ÿ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽŽŽŽŽ‘d&¹+Ÿø—ž‘³j1Ž‘¢ŸÞȉfeœ0Ÿ ¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽŽŽŽŽ‘àn¹+Ÿø—ž‘›h1Ž‘¢ŸÞȉfel+Ÿ ¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽ‘L$Â6Ÿø—ž‘™O¹1–nì+“1“+“1Ž‘=ÚŸÞȉfeIçôŸ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽ–Rc¨Â6Ÿø—ž‘&u¹3Ž‘=ÚŸÞȉfeIçôŸ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽ“Â6Ÿø—ž‘´¹3Ž‘=ÚŸÞȉfefŸ t¿RŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(118)ŽŽŽŸ-z‘3$ªïsrc:255PART4.texwš²!e–;‹can“add“the“related“w˜eqs“together“only“after“reco˜v˜ering“all“the“w˜eqs“to“theŽ¡‘"$ªgeneral‘¦fforms.‘ÝÝTherefore:ŽŸªˆŸø—ž‘xg1Ž‘s0ŸÞȉfe]Ÿ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽŽŽŽŽ’†Ó¬¹+Ÿø—ž‘³j1Ž‘¢ŸÞȉfeœ0Ÿ ¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽŽŽŽŽ‘àn¹+Ÿø—ž‘›h1Ž‘¢ŸÞȉfel+Ÿ ¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽŽŽ’Ätò¹=ŽŽŸø—ž’ÒÄH¿eŸü¾½0ŽŸÁg1ŽŽŽ’Ï£:ŸÞȉfe]Ÿ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽŽŽŽŽ’ã`¶¹+Ÿø—ž‘ƒ–¿eŸü¾½0ŽŸÁg2ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfeœ0Ÿ ¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽŽŽŽŽ‘àn¹+Ÿø—ž‘k”¿eŸü¾½0ŽŸÁg3ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfel+Ÿ ¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¤G’Ätò¹=ŽŽŸø—ž’望¿eŸü¾½0ŽŸÁg1ŽŽŽ’Ï£:ŸÞȉfeIçôŸ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽ’-M¹+Ÿø—ž‘#©x¿eŸü¾½0ŽŸÁg2ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfeIçôŸ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¡’Îp¹+Ÿø—ž‘!:Œ¿eŸü¾½0ŽŸÁg3ŽŽŽ‘33ŸÞȉfeIçôŸ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¡’Ätò¹=ŽŽŸø—ž’Øo3¿eŸü¾½0ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿eŸü¾½0ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿eŸü¾½0ŽŸÁg3ŽŽŽ’Ï£:ŸÞȉfeIçôŸ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¡’Ätò¹=ŽŽŸø—ž’Ï£:¿eŸü¾½0ŽŽ’Ï£:ŸÞȉfe ÙBŸ t‘¹•¿RŽŽŽŽ’ݺV¹=Ÿø—ž‘´1Ž‘=ÚŸÞȉfefŸ t¿RŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(119)ŽŽŽŽŸv„’ãÖg13ŽŽŒ‹ÉÓ u0’ ý³CU 1F' ýó#Ÿø—ž‘l‡¹1Ž‘dÖ$ŸÞȉfeÛaŸ ¿xŸüÖ0½2Ž‘À¿eŸü:u½2ŽŸÁg1ŽŽŽŽŽŽ‘}S¤¹+Ÿø—ž‘ l1Ž‘¢ŸÞȉfe\4Ÿ ¿yd“ŸüÖ0½2Ž‘$—¿eŸü:u½2ŽŸÁg2ŽŽŽŽŽŽ‘ r¹+Ÿø—ž‘ ûj1Ž‘¢ŸÞȉfe,/Ÿ ¿z{IŸüÖ0½2Ž‘;M¿eŸü:u½2ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽŽŽ’Ätò¹=ŽŽŸø—ž’Õ$J¿eŸü¾½0ŽŸÁg1ŽŽŽ’Ï£:ŸÞȉfeÛaŸ ¿xŸüÖ0½2Ž‘À¿eŸü:u½2ŽŸÁg1ŽŽŽŽŽŽ’è º¹+Ÿø—ž‘㘿eŸü¾½0ŽŸÁg2ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfe\4Ÿ ¿yd“ŸüÖ0½2Ž‘$—¿eŸü:u½2ŽŸÁg2ŽŽŽŽŽŽ‘ r¹+Ÿø—ž‘Ë–¿eŸü¾½0ŽŸÁg3ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfe,/Ÿ ¿z{IŸüÖ0½2Ž‘;M¿eŸü:u½2ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¤G’Ätò¹=ŽŽŸø—ž’ß9¿eŸü¾½0ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿eŸü¾½0ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿eŸü¾½0ŽŸÁg3ŽŽŽ’Ï£:ŸÞȉfeX(Ÿ ¿xŸüÖ0½2Ž‘À¿eŸü:u½2ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“ŸüÖ0½2Ž‘$—¿eŸü:u½2ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸüÖ0½2Ž‘;M¿eŸü:u½2ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¡’Ätò¹=ŽŽŸø—ž’ÑI§¿eŸü¾½0ŽŽ’Ï£:ŸÞȉfe &Ÿ t¿R¨ŸüÖ0½2ŽŽŽŽŽ’á0¹=Ÿø—ž‘1Ž‘=ÚŸÞȉfe &Ÿ t¿R¨ŸüÖ0½2ŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(120)ŽŽŽŸª¿Ÿø’Ç1À.ޤ’Ç1À.Ž¡’Ç1À.ŽŽŽŽŽŸ‰wŸø—ž‘gýŒ1Ž‘_d\ŸÞȉfe«ùŸ t¿xŸüÖ0ÀnŽ‘¨P¿eŸü:uÀnŽŸÁg½1ŽŽŽŽŽŽ‘y²t¹+Ÿø—ž‘ û¸1Ž‘¢ŸÞȉfe,ÌŸ t¿yd“ŸüÖ0ÀnŽ‘ ã¿eŸü:uÀnŽŸÁg½2ŽŽŽŽŽŽ‘q ¹+Ÿø—ž‘ ã¶1Ž‘¢ŸÞȉfeüÇŸ t¿z{IŸüÖ0ÀnŽ‘#™¿eŸü:uÀnŽŸÁg½3ŽŽŽŽŽŽŽŽ’Ätò¹=ŽŽŸø—ž’Ö –¿eŸü¾½0ŽŸÁg1ŽŽŽ’Ï£:ŸÞȉfe«ùŸ t¿xŸüÖ0ÀnŽ‘¨P¿eŸü:uÀnŽŸÁg½1ŽŽŽŽŽŽ’éñR¹+Ÿø—ž‘ Ëä¿eŸü¾½0ŽŸÁg2ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfe,ÌŸ t¿yd“ŸüÖ0ÀnŽ‘ ã¿eŸü:uÀnŽŸÁg½2ŽŽŽŽŽŽ‘q ¹+Ÿø—ž‘ ³â¿eŸü¾½0ŽŸÁg3ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfeüÇŸ t¿z{IŸüÖ0ÀnŽ‘#™¿eŸü:uÀnŽŸÁg½3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¤.’Ätò¹=ŽŽŸø—ž’âH¿eŸü¾½0ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿eŸü¾½0ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿eŸü¾½0ŽŸÁg3ŽŽŽ’Ï£:ŸÞȉfe]™ÈŸ t¿xŸüÖ0ÀnŽ‘¨P¿eŸü:uÀnŽŸÁg½1ŽŽ–<¹+›nì¿yd“ŸüÖ0ÀnŽ‘ ã¿eŸü:uÀnŽŸÁg½2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸüÖ0ÀnŽ‘#™¿eŸü:uÀnŽŸÁg½3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¡’Ätò¹=ŽŽŸø—ž’ѽͿeŸü¾½0ŽŽ’Ï£:ŸÞȉfehŸ t¿R¨ŸüÖ0ÀnŽŽŽŽŽ’áï|¹=Ÿø—ž‘ˆA1Ž‘=ÚŸÞȉfehŸ t¿R¨ŸüÖ0ÀnŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(121)ŽŽŽŸñ‘3$ªïsrc:285PART4.texF‘ÿerom–|*the“abMÞo•²!v“e›|*w“e˜can˜ nd˜an˜ob“vious˜fact˜that,‘„œduring˜the˜opMÞerations˜of˜addi-ޤ ‘"$ªtions,–‡Hsubtractions,“mš²!ultiplication–€and“divisions“of“zenks“and“ohitors,‘‡Honly“the“w˜eqsŽ¡‘"$ªhaš²!ving–¶tthe“same“eeds“or“in“the“same“tunnel“can“tak˜e“e ectiv˜e“actions.‘The“w˜eqs“inŽ¡‘"$ªdi erenš²!t–ÃÐtunnels“ha˜v˜e“no“e ectiv˜e“actions.‘6The“tunnel-x,‘Ë*tunnel-y“and“tunnel-z“areŽ¡‘"$ªnot–¦frelev‘ÿdDan²!t“during“the“algebraic“opMÞerations.Ž¡‘3$ªïsrc:291PART4.texSo,‘.0w•²!e›"ma“y˜consider˜that˜tunnel-x,‘.0tunnel-y˜and˜tunnel-z˜are˜just˜simply˜sharingŽ¡‘"$ªthe–®same“sym²!bšMÞols“of“the“algebraic“op˜erations“of“the“ohitors,‘ß¼exits“and“tornados.‘‹Eac²!hŽ¡‘"$ªof–oÏthese“x-,–zºy-,“and–oÏz-tunnel“acts“only“to“itself,‘zºevš²!en“though“they“are“com˜bining“andŽ¡‘"$ªwriting‘¦ftogether.Ž¡‘3$ªïsrc:295PART4.texNo•²!w›'pw“e˜can˜simplify˜the˜algebraic˜opMÞerations.‘`ûW‘ÿee˜can˜simply˜consider˜that,‘G²aŽ¡‘"$ªtornado–qÖhas“three“separated“tunnels,‘¤²eacš²!h“of“these“three“tunnels“will“tak˜e“actionsŽ¡‘"$ªonly–³\to“itself,‘¶šand“the“di erenš²!t“tunnels“will“not“cause“an˜y“m˜utual“e ects.‘ÀThen“theŽ¡‘"$ªgeneral–¦fform²!ula“is:ŽŸ|"’‰ôJŸóÞë‰ffª·nŸé:„é:ffŸú7Û‘§ã(¿R¨¹)– §=“(¿xeŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ›À¹)–nì+“(¿yd“eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ˜¹)“+“(¿z{IeŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ˜¹)ŽŽ’©ê¢„é:ffŽžff‰ffª·nŽŽŽŽ’—ŠD(122)ŽŽŽŸœË‘3$ªïsrc:303PART4.texThis–woform²!ula“is“called“as“\T›ÿeornados“T˜unnels“Iden²!tities",‘ë°and“abbreviated“toŽ¡‘"$ª\TTI".–¦fNoš²!w“I'll“giv˜e“some“examples“to“sho˜w“y˜ou“ho˜w“to“use“the“abMÞo˜v˜e“TTI:ŽŸÓ–‘mIµsinŽ‘|Žœ¿RŽŽ’†kƒ¹=ŽŽ’f˜sinŽ’ØN(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)ŽŽŽŸj ’†kƒ=ŽŽ’f˜sinŽ’ØN(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)–nì+“sinŽ‘à¢(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹)“+“sinŽ‘à¢(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ˜¹)ŽŽ’—ŠC(123)ŽŽŽ¤òÚ‘xçã¿eŸûz•ÀRŽŽŽ’†kƒ¹=ŽŽ’f˜¿eŸûz•ÀxeŸý-:ó¹Aa¨cmr6¾1ŽŸwq1ŽŽ–*§½+ÀyI{eŸý-:¾1ŽŸwq2ŽŽ“½+ÀzV…eŸý-:¾1ŽŸwq3ŽŽŽŽŽŽŸ’†kƒ¹=ŽŽ’f˜¿eŸûz•ÀxeŸý-:¾1ŽŸwq1ŽŽŽ‘Óê¹+–nì¿eŸûz•ÀyI{eŸý-:¾1ŽŸwq2ŽŽŽ‘ˆ¹+“¿eŸûz•ÀzV…eŸý-:¾1ŽŸwq3ŽŽŽŽŽ’—ŠC¹(124)ŽŽŽ¡‘V²{(tanŽ‘¤D¿R¨Ÿûz•½2ޑլ¹)Ÿûz•ÀRŽŽŽ’†kƒ¹=ŽŽ’f˜[‘Ó1tanŽ‘¤D(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ–À¹)Ÿûz•½2Ž“¹]Ÿûz•½(ÀxeŸý-:¾1ŽŸwq1ŽŽ–*§½+ÀyI{eŸý-:¾1ŽŸwq2ŽŽ“½+ÀzV…eŸý-:¾1ŽŸwq3ŽŽ“½)ŽŽŽŽ¡’†kƒ¹=ŽŽ’f˜[‘Ó1tanŽ›¤D(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–À¹)Ÿûz•½2Ž“¹]Ÿûz•½(ÀxeŸý-:¾1ŽŸwq1ŽŽ‘*§½)Ž‘pb¹+‘nì[‘Ó1tanŽ˜(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹)Ÿûz•½2Ž“¹]Ÿûz•½(ÀyI{eŸý-:¾1ŽŸwq2ŽŽ‘*§½)Ž‘$ˆ¹+‘nì[‘Ó1tanŽ˜(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ“¹)Ÿûz•½2Ž“¹]Ÿûz•½(ÀzV…eŸý-:¾1ŽŸwq3ŽŽ‘*§½)ŽŽŽ’—ŠC¹(125)ŽŽŽŸ?¨‘Nz(¿R¨Ÿûz•À Ž‘z+¹+‘nì¿d“¹)Ÿûz•ÀR ¶Ÿý-:Á ŽŽŽŽ’†kƒ¹=ŽŽ’f˜[‘Ó1(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ–À¹)Ÿûz•À Ž‘dƒ¹+˜¿d“eŸûz•½0Ž“¹]Ÿûz•½(ÀxeŸý-:¾1ŽŸwq1ŽŽ–*§½+ÀyI{eŸý-:¾1ŽŸwq2ŽŽ“½+ÀzV…eŸý-:¾1ŽŸwq3ŽŽ“½)Ÿý-:Á ŽŽŽŽŽŽŸv„’ãÖg¹14ŽŽŒ‹ßä u0’ ý³CU 1F' ýîf’†kƒ¹=ŽŽ’f˜[›Ó1(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ‘À¹)Ÿûz•À Ž‘dƒ¹+–nì¿d“eŸûz•½0ŽŸ:j1ŽŽ‘“5¹]Ÿûz•½(ÀxeŸý-:¾1ŽŸwq1ŽŽ‘*§½)Ÿý-:Á ŽŽ‘o}¹+“[˜(¿yšd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ‘À¹)Ÿûz•À Ž‘dƒ¹+“¿˜eŸûz•½0ŽŸ:j2ŽŽ‘“5¹]Ÿûz•½(ÀyI{eŸý-:¾1ŽŸwq2ŽŽ‘*§½)Ÿý-:Á ŽŽŽŽŽŸ?¨’f˜¹+[‘Ó1(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)Ÿûz•À Ž‘dƒ¹+‘nì¿d“eŸûz•½0ŽŸ:j3ŽŽ‘“5¹]Ÿûz•½(ÀzV…eŸý-:¾1ŽŸwq3ŽŽ‘*§½)Ÿý-:Á ŽŽŽŽ’—ŠC¹(126)ŽŽŽ¤…B‘3$ªïsrc:327PART4.texF‘ÿeor›¦fcon•²!v“enien“t˜use,˜w“e'll˜in“troMÞduce˜the˜ohitor˜tornado˜as˜follo“w:Ž¡’”‰Õ(¿R¨¹)ŽŽ’®Ó‹=ŽŽ’¸Î (¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)–nì+“(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹)“+“(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ˜¹)ŽŽŽ©j ’®Ó‹=ŽŽ’¸Î ¿Ÿ¤z½1Ž–À¹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ“¹)–nì+“¿Ÿ¤z½2Ž–À¹(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹)–nì+“¿Ÿ¤z½3Ž–À¹(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ“¹)ŽŽ’—ŠC(127)ŽŽŽŸ’®Ó‹=ŽŽ’¸Î ¿Ÿ¤zÀxŽ‘·Ó¹+–n쿟¤zÀyŽ‘kù¹+“¿Ÿ¤zÀzŽŽŽ’—ŠC¹(128)ŽŽŽŸÙ ‘3$ªïsrc:336PART4.texwhere‘¾Q¿Ÿ¤zÀxŽ‘Æ¹=›}2¿Ÿ¤z½1Ž–À¹(¿xeŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ“¹)˜=˜(¿xeŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ“¹),˜¿Ÿ¤zÀyŽ‘z?¹=˜¿Ÿ¤z½2Ž“¹(¿yd“eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹)˜=˜(¿yd“eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹),‘y€¿Ÿ¤zÀzŽ‘Gà¹=˜¿Ÿ¤z½3Ž“¹(¿z{IeŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ“¹)˜=˜(¿z{IeŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ“¹)ޤ ‘"$ªare–Kthe“x-tunnel,‘]Xy-tunnel“and“z-tunnel“separately›ÿe.‘¿lIn“Y˜un-Qi“Kingdom,‘]Xif“wš²!e“sa˜y“ Ž¡‘"$ªand–¦f¿G“¹are“tornados,“they“mean:ŽŸ…B’“^: (¿R¨¹)ŽŽ’®C­=ŽŽ’¸> (¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)–nì+“ (¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹)“+“ (¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ˜¹)ŽŽŽ¦’®C­=ŽŽ’¸>¿ Ÿ¤z½1Ž–À¹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ“¹)–nì+“¿ Ÿ¤z½2Ž–À¹(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹)–nì+“¿ Ÿ¤z½3Ž–À¹(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ“¹)ŽŽ’—ŠD(129)ŽŽŽ¤’®C­=ŽŽ’¸>¿ Ÿ¤zÀxŽ‘·Ó¹+–nì¿ Ÿ¤zÀyŽ‘kù¹+“¿ Ÿ¤zÀzŽŽŽ’—ŠD¹(130)ŽŽŽŸßñ’“F}¿G¹(¿R¨¹)ŽŽ’®C­=ŽŽ’¸>¿G¹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)–nì+“¿G¹(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹)“+“¿G¹(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ˜¹)ŽŽŽ¦’®C­=ŽŽ’¸>¿gŸ¤z½1Ž–À¹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ“¹)–nì+“¿gŸ¤z½2Ž–À¹(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹)–nì+“¿gŸ¤z½3Ž–À¹(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ“¹)ŽŽ’—ŠD(131)ŽŽŽ¡’®C­=ŽŽ’¸>¿gŸ¤zÀxŽ‘·Ó¹+–nì¿gŸ¤zÀyŽ‘kù¹+“¿gŸ¤zÀzŽŽŽ’—ŠD¹(132)ŽŽŽŸþÜ‘3$ªïsrc:353PART4.tex‘Ó1ÈLastŽ‘bP¹,–¦fThe“Algebra“OpMÞerations“of“Tw²!o-Ohit“ExitsŽ‘¦fŸº¥‰feÏxꎎŸ£c‘3$ªïsrc:357PART4.texF‘ÿeor›¦ft•²!w“o˜ohits˜¿RŸ¤z½1Ž‘Ê«¹=‘ §¿xŸ¤z½1Ž–À¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ›.ð¹+‘nì¿yŸ¤z½1Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ˜¹+‘nì¿zŸ¤z½1Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ‘ 9›¹and‘y—¿RŸ¤z½2Ž‘Ê«¹=‘ §¿xŸ¤z½2Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ˜¹+‘nì¿yŸ¤z½2Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ˜¹+‘nì¿zŸ¤z½2Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ“¹,–¦fwš²!e“ha˜v˜e:ŽŸú¥‘iX¿RŸ¤z½1Ž‘.ð‘nì¿RŸ¤z½2ŽŽŽ’’Qè¹=ŽŽ’œLý(¿xŸ¤z½1Ž–À¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›.ð¹+‘nì¿yŸ¤z½1Ž“¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹+›nì¿zŸ¤z½1Ž“¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ“¹)˜Â˜¹(¿xŸ¤z½2Ž“¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ‘.ð¹+˜¿yŸ¤z½2Ž“¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ‘.ð¹+˜¿zŸ¤z½2Ž“¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ“¹)ŽŽŽ¦’’Qè=ŽŽ’œLý(¿xŸ¤z½1Ž–.ð›nì¿xŸ¤z½2Ž‘À¹)¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ“¹+˜(¿yŸ¤z½1Ž“Â˜¿yŸ¤z½2Ž‘À¹)¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜(¿zŸ¤z½1Ž“Â˜¿zŸ¤z½2Ž‘À¹)¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽŽŽ’—ŠD¹(133)ŽŽŽ¤…B‘"$ªïsrc:367PART4.texfor–¦fanš²!y“pMÞositiv˜e“in˜teger‘y—¿n‘Ó1¹:Ž¡‘b{¿RŸûz•¨ÀnŽŸ:j½1ŽŽ‘,ä‘nì¿RŸûz•¨ÀnŽŸ:j½2ŽŽŽŽ’Œþ8¹=ŽŽ’–ùM(¿xŸûz•ÀnŽŸ:j½1ŽŽ‘¨P¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½1ŽŽ–<¹+›nì¿yŸûz•d“ÀnŽŸ:j½1ŽŽ‘ ã¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½2ŽŽ“¹+˜¿zŸûz•{IÀnŽŸ:j½1ŽŽ‘#™¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½3ŽŽ–¨P¹)˜Â˜¹(¿xŸûz•ÀnŽŸ:j½2ŽŽ“¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½1ŽŽ–<¹+˜¿yŸûz•d“ÀnŽŸ:j½2ŽŽ‘ ã¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½2ŽŽ“¹+˜¿zŸûz•{IÀnŽŸ:j½2ŽŽ‘#™¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½3ŽŽ‘¨P¹)ŽŽŽŸ’Œþ8=ŽŽ’–ùM(¿xŸûz•ÀnŽŸ:j½1ŽŽ–<›nì¿xŸûz•ÀnŽŸ:j½2ŽŽ‘¨P¹)¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½1ŽŽ“¹+˜(¿yŸûz•d“ÀnŽŸ:j½1ŽŽ‘{Ϙ¿yŸûz•d“ÀnŽŸ:j½2ŽŽ‘ ã¹)¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½2ŽŽ“¹+˜(¿zŸûz•{IÀnŽŸ:j½1ŽŽ‘’…˜¿zŸûz•{IÀnŽŸ:j½2ŽŽ‘#™¹)¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½3ŽŽŽŽ’—ŠD¹(134)ŽŽŽ¡‘"$ªïsrc:377PART4.texSimilarly‘ÿe,–¦fwš²!e“ha˜v˜e:ŽŸŠ9Ÿø—ž‘eij1Ž‘aýŸÞȉfe tŸ t¿RŸ¤z½1ŽŽŽŽŽ‘rP¹+Ÿø—ž‘mŒ1Ž‘¢ŸÞȉfe tŸ t¿RŸ¤z½2ŽŽŽŽŽŽŽ’Ž1k¹=ŽŽŸø—ž’™_³¿RŸ¤z½1Ž‘.ð¹+‘nì¿RŸ¤z½2ŽŽ’™_³ŸÞȉfe'ƒŸ t¿RŸ¤z½1Ž‘.ð‘nì¿RŸ¤z½2ŽŽŽŽŽŽŽŽŸ°Ì’Ž1k¹=ŽŽŸø—ž’™_³(¿xŸ¤z½1Ž–À¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ›.ð¹+‘nì¿yŸ¤z½1Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ˜¹+›nì¿zŸ¤z½1Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ“¹)˜+˜(¿xŸ¤z½2Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ‘.ð¹+˜¿yŸ¤z½2Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ‘.ð¹+˜¿zŸ¤z½2Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ“¹)Ž’™_³ŸÞȉfeÌúòŸ (¿xŸ¤z½1Ž–À¿eŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ›.ð¹+‘nì¿yŸ¤z½1Ž“¿eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ˜¹+›nì¿zŸ¤z½1Ž“¿eŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽ“¹)˜Â˜¹(¿xŸ¤z½2Ž“¿eŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ‘.ð¹+˜¿yŸ¤z½2Ž“¿eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ‘.ð¹+˜¿zŸ¤z½2Ž“¿eŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽ“¹)ŽŽŽŽŽŽŽ¤G’Ž1k=ŽŽŸø—ž’™_³(¿xŸ¤z½1Ž–.ð¹+›nì¿xŸ¤z½2Ž‘À¹)¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ“¹+˜(¿yŸ¤z½1Ž“¹+˜¿yŸ¤z½2Ž‘À¹)¿eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜(¿zŸ¤z½1Ž“¹+˜¿zŸ¤z½2Ž‘À¹)¿eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽŽ’™_³ŸÞȉfe·órŸ ‘-¹(¿xŸ¤z½1Ž–À¿xŸ¤z½2Ž“¹)¿eŸü:u½2ŽŸÁg1ŽŽ›.ð¹+‘nì(¿yŸ¤z½1Ž“¿yŸ¤z½2Ž“¹)¿eŸü:u½2ŽŸÁg2ŽŽ˜¹+‘nì(¿zŸ¤z½1Ž“¿zŸ¤z½2Ž“¹)¿eŸü:u½2ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¡’Ž1k¹=ŽŽŸø—ž’™_³(¿xŸ¤z½1Ž‘.ð¹+‘nì¿xŸ¤z½2Ž‘À¹)¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽŽ’™_³ŸÞȉfe5ÃäŸ ‘±¹(¿xŸ¤z½1Ž–À¿xŸ¤z½2Ž“¹)¿eŸü:u½2ŽŸÁg1ŽŽŽŽŽŽ’ÒŶ¹+Ÿø—ž‘¢(¿yŸ¤z½1Ž‘.ð¹+‘nì¿yŸ¤z½2Ž‘À¹)¿eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfe3üdŸ ‘±¹(¿yŸ¤z½1Ž–À¿yŸ¤z½2Ž“¹)¿eŸü:u½2ŽŸÁg2ŽŽŽŽŽŽ‘;@¢¹+Ÿø—ž‘¢(¿zŸ¤z½1Ž‘.ð¹+‘nì¿zŸ¤z½2Ž‘À¹)¿eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfe3nîŸ ‘±¹(¿zŸ¤z½1Ž–À¿zŸ¤z½2Ž“¹)¿eŸü:u½2ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽŽŸv„’ãÖg¹15ŽŽŒ‹ô, u0’ ý³CU 1F' ýñm’Ž1k¹=ŽŽŸø—ž’­F§1Ž’™_³ŸÞȉfe-G‚Ÿ (Ÿû+‘oÀxŸq¾1Ž‘*§ÀxŸq¾2ŽŽ‘33Ÿé;‰feƒ”ŸPAÀxŸq¾1Ž‘*§½+ÀxŸq¾2ŽŽŽŽŽ‘éú¹)¿eŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽŽŽŽŽ’ÊIT¹+Ÿø—ž‘ó¾1Ž‘¢ŸÞȉfe,ØŸ (Ÿûc‘oÀyŸq¾1Ž‘*§ÀyŸq¾2ŽŽ‘33Ÿ[‰feXêŸPAÀyŸq¾1Ž‘*§½+ÀyŸq¾2ŽŽŽŽŽ‘¿P¹)¿eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽŽŽŽŽ‘3a¹+Ÿø—ž‘´U1Ž‘¢ŸÞȉfe+žŸ (Ÿû+‘oÀzŸq¾1Ž‘*§ÀzŸq¾2ŽŽ‘33Ÿé;‰feÚŸPAÀzŸq¾1Ž‘*§½+ÀzŸq¾2ŽŽŽŽŽ‘@~¹)¿eŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(135)ŽŽŽŸ ¹Ÿø’î9.ޤ’î9.Ž¡’î9.ŽŽŽŽŽŸãæŸø—ž‘cì|1Ž‘_¢ŸÞȉfehŸ t¿RŸü:u¨ÀnŽŸÁg½1ŽŽŽŽŽŽ‘qRœ¹+Ÿø—ž‘ì†1Ž‘¢ŸÞȉfehŸ t¿RŸü:u¨ÀnŽŸÁg½2ŽŽŽŽŽŽŽŽ’Ž1k¹=ŽŽŸø—ž’™_³¿RŸü¾¨ÀnŽŸÁg½1ŽŽ‘,ä¹+‘nì¿RŸü¾¨ÀnŽŸÁg½2ŽŽŽ’™_³ŸÞȉfe)~îŸ t¿RŸü:u¨ÀnŽŸÁg½1ŽŽ‘,ä‘nì¿RŸü:u¨ÀnŽŸÁg½2ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¤’Ž1k¹=ŽŽŸø—ž’™_³(¿xŸü¾ÀnŽŸÁg½1ŽŽ‘¨P¿eŸü¾ÀnŽŸÁg½1ŽŽ–<¹+›nì¿yŸü¾d“ÀnŽŸÁg½1ŽŽ‘ ã¿eŸü¾ÀnŽŸÁg½2ŽŽ“¹+˜¿zŸü¾{IÀnŽŸÁg½1ŽŽ‘#™¿eŸü¾ÀnŽŸÁg½3ŽŽ–¨P¹)˜+˜(¿xŸü¾ÀnŽŸÁg½2ŽŽ“¿eŸü¾ÀnŽŸÁg½1ŽŽ–<¹+˜¿yŸü¾d“ÀnŽŸÁg½2ŽŽ‘ ã¿eŸü¾ÀnŽŸÁg½2ŽŽ“¹+˜¿zŸü¾{IÀnŽŸÁg½2ŽŽ‘#™¿eŸü¾ÀnŽŸÁg½3ŽŽ‘¨P¹)Ž’™_³ŸÞȉfeÙž:Ÿ t(¿xŸü:uÀnŽŸÁg½1ŽŽ‘¨P¿eŸü:uÀnŽŸÁg½1ŽŽ–<¹+›nì¿yŸü:ud“ÀnŽŸÁg½1ŽŽ‘ ã¿eŸü:uÀnŽŸÁg½2ŽŽ“¹+˜¿zŸü:u{IÀnŽŸÁg½1ŽŽ‘#™¿eŸü:uÀnŽŸÁg½3ŽŽ–¨P¹)˜Â˜¹(¿xŸü:uÀnŽŸÁg½2ŽŽ“¿eŸü:uÀnŽŸÁg½1ŽŽ–<¹+˜¿yŸü:ud“ÀnŽŸÁg½2ŽŽ‘ ã¿eŸü:uÀnŽŸÁg½2ŽŽ“¹+˜¿zŸü:u{IÀnŽŸÁg½2ŽŽ‘#™¿eŸü:uÀnŽŸÁg½3ŽŽ‘¨P¹)ŽŽŽŽŽŽŽ¡’Ž1k=ŽŽŸø—ž’™_³(¿xŸü¾ÀnŽŸÁg½1ŽŽ–<¹+›nì¿xŸü¾ÀnŽŸÁg½2ŽŽ‘¨P¹)¿eŸü¾ÀnŽŸÁg½1ŽŽ“¹+˜(¿yŸü¾d“ÀnŽŸÁg½1ŽŽ‘{Ϲ+˜¿yŸü¾d“ÀnŽŸÁg½2ŽŽ‘ ã¹)¿eŸü¾ÀnŽŸÁg½2ŽŽ“¹+˜(¿zŸü¾{IÀnŽŸÁg½1ŽŽ‘’…¹+˜¿zŸü¾{IÀnŽŸÁg½2ŽŽ‘#™¹)¿eŸü¾ÀnŽŸÁg½3ŽŽŽ’™_³ŸÞȉfeÁÝÖŸ ‘ ³'¹(¿xŸü:uÀnŽŸÁg½1ŽŽ–¨P¿xŸü:uÀnŽŸÁg½2ŽŽ“¹)¿eŸü:u½2ÀnŽŸÁg½1ŽŽ› W@¹+‘nì(¿yŸü:ud“ÀnŽŸÁg½1ŽŽ– ã¿yŸü:ud“ÀnŽŸÁg½2ŽŽ“¹)¿eŸü:u½2ÀnŽŸÁg½2ŽŽ˜¹+‘nì(¿zŸü:u{IÀnŽŸÁg½1ŽŽ–#™¿zŸü:u{IÀnŽŸÁg½2ŽŽ“¹)¿eŸü:u½2ÀnŽŸÁg½3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¤1˜’Ž1k¹=ŽŽŸø—ž’™_³(¿xŸü¾ÀnŽŸÁg½1ŽŽ‘<¹+‘nì¿xŸü¾ÀnŽŸÁg½2ŽŽ‘¨P¹)¿eŸü¾ÀnŽŸÁg½1ŽŽŽ’™_³ŸÞȉfe8|ÈŸ ‘‘ ¹(¿xŸü:uÀnŽŸÁg½1ŽŽ–¨P¿xŸü:uÀnŽŸÁg½2ŽŽ“¹)¿eŸü:u½2ÀnŽŸÁg½1ŽŽŽŽŽŽ’Õ~š¹+Ÿø—ž‘¢(¿yŸü¾d“ÀnŽŸÁg½1ŽŽ‘{Ϲ+‘nì¿yŸü¾d“ÀnŽŸÁg½2ŽŽ‘ ã¹)¿eŸü¾ÀnŽŸÁg½2ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfe7~nŸ ‘‘ ¹(¿yŸü:ud“ÀnŽŸÁg½1ŽŽ– ã¿yŸü:ud“ÀnŽŸÁg½2ŽŽ“¹)¿eŸü:u½2ÀnŽŸÁg½2ŽŽŽŽŽŽ‘>¬¹+Ÿø—ž‘¢(¿zŸü¾{IÀnŽŸÁg½1ŽŽ‘’…¹+‘nì¿zŸü¾{IÀnŽŸÁg½2ŽŽ‘#™¹)¿eŸü¾ÀnŽŸÁg½3ŽŽŽ‘¢ŸÞȉfe7dŸ ‘‘ ¹(¿zŸü:u{IÀnŽŸÁg½1ŽŽ–#™¿zŸü:u{IÀnŽŸÁg½2ŽŽ“¹)¿eŸü:u½2ÀnŽŸÁg½3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽŸ ³’Ž1k¹=ŽŽŸø—ž’®®]1Ž’™_³ŸÞȉfe0îŸ –X(Ÿùó—‘oÀxŸý>”ÁnŽŸwq¾1ŽŽ‘7ÀxŸý>”ÁnŽŸwq¾2ŽŽŽ‘33Ÿ‚ωfej´ŸPAÀxŸý>”ÁnŽŸwq¾1ŽŽ‘7½+ÀxŸý>”ÁnŽŸwq¾2ŽŽŽŽŽŽ‘ѹ)¿eŸü:uÀnŽŸÁg½1ŽŽŽŽŽŽ’ÍÀ¹+Ÿø—ž‘¤ï1Ž‘¢ŸÞȉfe/:Ÿ –X(Ÿùó—‘oÀyŸý>”I{ÁnŽŸwq¾1ŽŽ‘g²ÀyŸý>”I{ÁnŽŸwq¾2ŽŽŽ‘33Ÿ‚ωfeÓŸPAÀyŸý>”I{ÁnŽŸwq¾1ŽŽ‘g²½+ÀyŸý>”I{ÁnŽŸwq¾2ŽŽŽŽŽŽ‘9f¹)¿eŸü:uÀnŽŸÁg½2ŽŽŽŽŽŽ‘6Ãx¹+Ÿø—ž‘r1Ž‘¢ŸÞȉfe/|Ÿ –X(Ÿùó—‘oÀzŸý>”V…ÁnŽŸwq¾1ŽŽ‘t¼ÀzŸý>”V…ÁnŽŸwq¾2ŽŽŽ‘33Ÿ‚ωfenBŸPAÀzŸý>”V…ÁnŽŸwq¾1ŽŽ‘t¼½+ÀzŸý>”V…ÁnŽŸwq¾2ŽŽŽŽŽŽ‘Ô¨¹)¿eŸü:uÀnŽŸÁg½3ŽŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(136)ŽŽŽŸ$$‘3$ªïsrc:414PART4.texNoš²!w–¦flet's“see“the“m˜ultiplication“of“t˜w˜o“ohitors:ŽŸ‘aªs¿RŸ¤z½1Ž‘À¿RŸ¤z½2ŽŽŽ‘}B*¹=ŽŽ’‡=?(¿xŸ¤z½1Ž–À¿xŸ¤z½2Ž“¹)¿eŸûz•½2ŽŸ:j1ŽŽ›.ð¹+‘nì(¿yŸ¤z½1Ž“¿yŸ¤z½2Ž“¹)¿eŸûz•½2ŽŸ:j2ŽŽ˜¹+‘nì(¿zŸ¤z½1Ž“¿zŸ¤z½2Ž“¹)¿eŸûz•½2ŽŸ:j3ŽŽŽŽŽŸj ‘a”Ë¿RŸ¤z½1Ž‘À¿RŸûz•¨½2ŽŸ:j2ŽŽŽŽ‘}B*¹=ŽŽ’‡=?(¿xŸ¤z½1Ž–À¿xŸûz•½2ŽŸ:j2ŽŽ“¹)¿eŸûz•½3ŽŸ:j1ŽŽ›.ð¹+‘nì(¿yŸ¤z½1Ž“¿yŸûz•d“½2ŽŸ:j2ŽŽ‘$—¹)¿eŸûz•½3ŽŸ:j2ŽŽ˜¹+‘nì(¿zŸ¤z½1Ž“¿zŸûz•{I½2ŽŸ:j2ŽŽ‘;M¹)¿eŸûz•½3ŽŸ:j3ŽŽŽŽŽŸä°Ÿø‘þø¹.ޤ‘þø.Ž¡‘þø.ŽŽŽŽŽ©‘]R¿RŸûz•¨ÀnŽŸ:j½1ŽŽ‘½ø¿RŸûz•¨ÀmŽŸ:j½2ŽŽŽŽ‘}B*¹=ŽŽ’‡=?(¿xŸ¤z½1Ž–À¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ“¹)Ÿûz•ÀnŽ›¨P¹(¿xŸ¤z½2Ž“¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ“¹)Ÿûz•ÀmŽ‘ s°¹+‘nì(¿yŸ¤z½1Ž“¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹)Ÿûz•ÀnŽ˜¹(¿yŸ¤z½2Ž“¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹)Ÿûz•ÀmŽ‘ s°¹+‘nì(¿zŸ¤z½1Ž“¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ“¹)Ÿûz•ÀnŽ˜¹(¿zŸ¤z½2Ž“¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ“¹)Ÿûz•ÀmŽŽŽŽŸ-‘}B*¹=ŽŽ’‡=?(¿xŸûz•ÀnŽŸ:j½1ŽŽ‘¨P¿xŸûz•ÀmŽŸ:j½2ŽŽ‘Ĺ)¿eŸûeÀn½+ÀmŽŸ–¿½1ŽŽ–8x¹+›nì(¿yŸûz•d“ÀnŽŸ:j½1ŽŽ‘ ã¿yŸûz•d“ÀmŽŸ:j½2ŽŽ‘iW¹)¿eŸûeÀn½+ÀmŽŸ–¿½2ŽŽ“¹+˜(¿zŸûz•{IÀnŽŸ:j½1ŽŽ‘#™¿zŸûz•{IÀmŽŸ:j½2ŽŽ‘€ ¹)¿eŸûeÀn½+ÀmŽŸ–¿½3ŽŽŽŽ’—ŠD¹(137)ŽŽŽŸ…SŸø—ž‘k[†¿RŸü¾¨ÀnŽŸÁg½1ŽŽŽ‘j-LŸÞȉfejÜŸ t¿RŸü:u¨ÀmŽŸÁg½2ŽŽŽŽŽŽŽ‘}B*¹=ŽŽŸø—ž’‰ž¬(¿xŸ¤z½1Ž–À¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ“¹)Ÿü¾ÀnŽŽ’ˆprŸÞȉfe%dkŸ ¹(¿xŸ¤z½2Ž–À¿eŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ“¹)ŸüÖ0ÀmŽŽŽŽŽ’±vü¹+Ÿø—ž‘ÐY(¿yŸ¤z½1Ž–À¿eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹)Ÿü¾ÀnŽŽ‘¢ŸÞȉfe$€«Ÿ ¹(¿yŸ¤z½2Ž–À¿eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹)ŸüÖ0ÀmŽŽŽŽŽ‘+Äé¹+Ÿø—ž‘ÐY(¿zŸ¤z½1Ž–À¿eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ“¹)Ÿü¾ÀnŽŽ‘¢ŸÞȉfe$9🠹(¿zŸ¤z½2Ž–À¿eŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽ“¹)ŸüÖ0ÀmŽŽŽŽŽŽŽŽ¡‘}B*¹=ŽŽŸø—ž’‰ž¬(¿xŸ¤z½1Ž‘À¹)Ÿü¾ÀnŽŽ’ˆprŸÞȉfe‹)Ÿ t¹(¿xŸ¤z½2Ž‘À¹)ŸüÖ0ÀmŽŽŽŽŽ’¥.οeŸûeÀnÃÀmŽŸ–¿½1ŽŽ–8x¹+Ÿø—ž‘ÐY(¿yŸ¤z½1Ž‘À¹)Ÿü¾ÀnŽŽ‘¢ŸÞȉfe§iŸ t¹(¿yŸ¤z½2Ž‘À¹)ŸüÖ0ÀmŽŽŽŽŽ‘|»¿eŸûeÀnÃÀmŽŸ–¿½2ŽŽ“¹+Ÿø—ž‘ÐY(¿zŸ¤z½1Ž‘À¹)Ÿü¾ÀnŽŽ‘¢ŸÞȉfe`®Ÿ t¹(¿zŸ¤z½2Ž‘À¹)ŸüÖ0ÀmŽŽŽŽŽ‘6¿eŸûeÀnÃÀmŽŸ–¿½3ŽŽŽŽŽŸuµ‘[u׿eŸûz•ÀRŸq¾1ŽŽ‘ „¿eŸûz•ÀRŸq¾2ŽŽŽŽ‘}B*¹=ŽŽ’‡=?(¿eŸûz•ÀxŸq¾1Ž‘*§ÀeŸý-:¾1ŽŸwq1ŽŽŽ›þ‘¹+–nì¿eŸûz•ÀyŸq¾1Ž‘*§ÀeŸý-:¾1ŽŸwq2ŽŽŽ‘i<¹+“¿eŸûz•ÀzŸq¾1Ž‘*§ÀeŸý-:¾1ŽŸwq3ŽŽŽ‘ºç¹)(¿eŸûz•ÀxŸq¾2Ž‘*§ÀeŸý-:¾1ŽŸwq1ŽŽŽ˜¹+“¿eŸûz•ÀyŸq¾2Ž‘*§ÀeŸý-:¾1ŽŸwq2ŽŽŽ‘i<¹+“¿eŸûz•ÀzŸq¾2Ž‘*§ÀeŸý-:¾1ŽŸwq3ŽŽŽ‘ºç¹)ŽŽŽŸòÚ‘}B*=ŽŽ’‡=?¿eŸûz•ÀxŸq¾1Ž‘*§ÀeŸý-:¾1ŽŸwq1ŽŽŽ‘¥¿eŸûz•ÀxŸq¾2Ž‘*§ÀeŸý-:¾1ŽŸwq1ŽŽŽ‘þ‘¹+–nì¿eŸûz•ÀyŸq¾1Ž‘*§ÀeŸý-:¾1ŽŸwq2ŽŽŽ‘úP¿eŸûz•ÀyŸq¾2Ž‘*§ÀeŸý-:¾1ŽŸwq2ŽŽŽ‘i<¹+“¿eŸûz•ÀzŸq¾1Ž‘*§ÀeŸý-:¾1ŽŸwq3ŽŽŽ‘ºç¿eŸûz•ÀzŸq¾2Ž‘*§ÀeŸý-:¾1ŽŸwq3ŽŽŽŽŽŽŸ¨‘}B*¹=ŽŽ’‡=?¿eŸûz•½(ÀxŸq¾1Ž–*§½+ÀxŸq¾2Ž“½)ÀeŸý-:¾1ŽŸwq1ŽŽ“½+(ÀyŸq¾1Ž“½+ÀyŸq¾2Ž“½)ÀeŸý-:¾1ŽŸwq2ŽŽ“½+(ÀzŸq¾1Ž“½+ÀzŸq¾2Ž“½)ÀeŸý-:¾1ŽŸwq3ŽŽŽŽŽŽ¦‘}B*¹=ŽŽ’‡=?¿eŸûz•ÀRŸq¾1Ž‘*§½+ÀRŸq¾2ŽŽŽŽ’—ŠD¹(138)ŽŽŽŸÏŸø—ž‘jmf¿eŸü¾ÀRŸq¾1ŽŽŽ‘jmfŸÞȉfe*Ÿ t¿eŸüÖ0ÀRŸq¾2ŽŽŽŽŽŽŽ‘}B*¹=ŽŽŸø—ž’ˆpr¿eŸü¾ÀxŸq¾1Ž‘*§ÀeŸý-:¾1ŽŸwq1ŽŽŽŽ’ˆprŸÞȉfe¨ãŸ ¶8¿eŸü@ÀxŸq¾2Ž‘*§ÀeŸý>”¾1ŽŸwq1ŽŽŽŽŽŽŽ’¢»t¹+Ÿø—ž‘¢¿eŸü¾ÀyŸq¾1Ž‘*§ÀeŸý-:¾1ŽŸwq2ŽŽŽŽ‘¢ŸÞȉfeŽŸ ¶8¿eŸü@ÀyŸq¾2Ž‘*§ÀeŸý>”¾1ŽŸwq2ŽŽŽŽŽŽŽ‘W̹+Ÿø—ž‘¢¿eŸü¾ÀzŸq¾1Ž‘*§ÀeŸý-:¾1ŽŸwq3ŽŽŽŽ‘¢ŸÞȉfeÔ%Ÿ ¶8¿eŸü@ÀzŸq¾2Ž‘*§ÀeŸý>”¾1ŽŸwq3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽŽŸb­‘}B*¹=ŽŽ’‡=?¿eŸûz•½(ÀxŸq¾1Ž–*§ÃÀxŸq¾2Ž“½)ÀeŸý-:¾1ŽŸwq1ŽŽ“½+(ÀyŸq¾1Ž“ÃÀyŸq¾2Ž“½)ÀeŸý-:¾1ŽŸwq2ŽŽ“½+(ÀzŸq¾1Ž“ÃÀzŸq¾2Ž“½)ÀeŸý-:¾1ŽŸwq3ŽŽŽŽŽŽ¦‘}B*¹=ŽŽ’‡=?¿eŸûz•ÀRŸq¾1Ž‘*§ÃÀRŸq¾2ŽŽŽŽ’—ŠD¹(139)ŽŽŽŸ‘3$ªïsrc:451PART4.texwhere–ç¿m“¹and“¿n“¹are“anš²!y“pMÞositiv˜e“in˜tegers.‘&aAnd“the“U-Space“TTI›Ëor“U-TTI˜hasŽŸ ‘"$ªbMÞeen‘¦fused.ŽŽŸv„’ãÖg16ŽŽŒ‹ 5 u0’ ý³CU 1F' ý홊‘3$ªïsrc:2PART5.texŽŸ€‘"$ªïsrc:4PART5.texÈV.–2YUN-QI“DIFFERENTIA‘þó\TIONŽŸ6g‘3$ªïsrc:8PART5.tex¹In–×íY‘ÿeun-Qi“Kingdom,›äNthe“deriv‘ÿdDativ²!es“of“ohitors,˜exits“and“tornados“with“respMÞectޤ ‘"$ªto–‹zan“ohit“are“actually“the“simple“algebraic“opMÞerations.‘ÔäF›ÿeor“this“reason,‘Üthe“Y˜un-QiŽ¡‘"$ªdi erenš²!tiation–Ýand“in˜tegration“(It“will“bšMÞe“discussed“next“section)“happ˜ening“in“theŽ¡‘"$ªsame–¦fU-Space,“is“also“categorized“as“Y‘ÿeun-Qi“primary“algebra.Ž¡‘3$ªïsrc:13PART5.texBefore–<¶I‘Ÿ t‘1‘øÂ Ÿü¨ÁRŽŽŽŽŽŽŽŽŽŸ,Á‘m“=¹=ŽŽ‘wŽR3¿R¨Ÿûz•½2Ž‘D˜¹+–nì3“ Ÿü¨ÁRŽŽ‘üô¿R‘„”¹+“ Ÿûz•½2ŽŸ:jŸX.ÁRŽŽŽ‘ ˜¯¹=‘ §3¿R¨Ÿûz•½2ŽŽŽ’—ŠD¹(160)ŽŽŽŸ5Ÿø‘pP .ޤ‘pP .Ž¡‘pP .ŽŽŽŽŽŸžÈ‘Q10¿d‘øÂŽ‘WþŸü¨ÁRŽŽ‘^¿R¨Ÿûz•ÀnŽŽŽŽ‘m“=¹=ŽŽŸø—ž‘xÁ… Ÿ1EÁR¤ŸþGnŽŽŽŽ‘xÁ…ŸÞȉfe0…Ÿ t‘ Ÿü¨ÁRŽŽŽŽŽŽ’‘/ä¹=Ÿø—ž‘=Ú(¿R‘„”¹+–nì Ÿü¨ÁRŽŽ‘޹)Ÿü¾ÀnŽ‘<“¿R¨Ÿü¾ÀnŽŽ‘=ÚŸÞȉfeNw Ÿ t‘²©Â Ÿü¨ÁRŽŽŽŽŽŽŽŽŽ¤K‘m“=¹=ŽŽŸø—ž‘}ß1Ž‘xÁ…ŸÞȉfeNŸ t Ÿü¨ÁRŽŽŽŽŽŽ’‰¹[‘Ó1¿n–nì Ÿü¨ÁRŽŽ›üô¿R¨Ÿûz•Àný1Ž‘ `¹+Ÿø—ž‘¢(¿n¹)(¿n““¹1)Ž‘¢ŸÞȉfe1 lŸ t‘Çé2ŽŽŽŽ‘8MªÂ Ÿûz•½2ŽŸ:jŸX.ÁRŽŽŽ˜¿R¨Ÿûz•Àný2Ž‘ `¹+“–Ó1“Ž‘'¹]ŽŽŽ¡‘m“==ŽŽ‘wŽR¿nR¨Ÿûz•Àný1Ž– `¹+Ÿø—ž‘¢(¿n¹)(¿n–n쓹1)Ž‘¢ŸÞȉfe1 lŸ t‘Çé2ŽŽŽŽ‘8MªÂ Ÿü¨ÁRŽŽ‘üô¿R¨Ÿûz•Àný2Ž“¹+‘nì–Ó1“ŽŽŽŽŸ0‘m“=¹=ŽŽ‘wŽR¿nR¨Ÿûz•Àný1ŽŽŽ’—ŠD¹(161)ŽŽŽ©‘3$ªïsrc:159PART5.texwhere–¦fwš²!e“ha˜v˜e“used“the“follo˜wing“trivial“facts“of“tornados:ŽŸ4µ‘4±ÿ¿aR¨Ÿûz•ÀnŽ‘,ä¹+–nì¿b“ Ÿûz•À ŽŸ:jŸX.ÁRŽŽŽ‘üô¿R¨Ÿûz•À ŽŽŽ‘~–¹=ŽŽ’ˆ«¿aR¨Ÿûz•ÀnŽ‘,ä¹+‘nì¿b¹( ¿eŸûz•½1Ž‘À¹)Ÿûz•À Ž‘õ—¿R¨Ÿûz•À ŽŽŽŽŸï*‘~–¹=ŽŽ’ˆ«¿aR¨Ÿûz•ÀnŽ‘,ä¹+–nì¿b“ Ÿûz•À Ž‘dƒ¹(¿xŸûz•À Ž‘®<¿eŸú¬<À ½+À ŽŸO ½1ŽŽ›/7¹+“¿yd“Ÿûz•À Ž‘Ï¿eŸú¬<À ½+À ŽŸO ½2ŽŽ˜¹+“¿z{IŸûz•À Ž‘)…¿eŸú¬<À ½+À ŽŸO ½3ŽŽ‘ÀK¹)ŽŽŽ¤ÝÙ‘~–=ŽŽ’ˆ«(¿axŸûz•ÀnŽ‘¨P¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½1ŽŽ›<¹+–nì¿b“ Ÿûz•À Ž‘dƒ¿xŸûz•À Ž‘®<¿eŸú¬<À ½+À ŽŸO ½1ŽŽ‘ÀK¹)“+“(¿ayd“Ÿûz•ÀnŽ‘ ã¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½2ŽŽ˜¹+“¿b“ Ÿûz•À Ž‘dƒ¿yd“Ÿûz•À Ž‘Ï¿eŸú¬<À ½+À ŽŸO ½2ŽŽ‘ÀK¹)ŽŽŽ¡’ˆ«+(¿az{IŸûz•ÀnŽ‘#™¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½3ŽŽ‘<¹+–nì¿b“ Ÿûz•À Ž‘dƒ¿z{IŸûz•À Ž‘)…¿eŸú¬<À ½+À ŽŸO ½3ŽŽ‘ÀK¹)ŽŽŽ¡‘~–=ŽŽ’ˆ«(¿a–nì¹+“¿b“ Ÿûz•À Ž›dƒ¿xŸûz•À i>ÃÀnŽ‘s¿eŸú¬<À ½+À i>ÃÀnŽŸO ½1ŽŽ‘…¹)¿xŸûz•ÀnŽ‘¨P¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½1ŽŽ‘<¹+“(¿a“¹+“¿b“ Ÿûz•À Ž˜¿yd“Ÿûz•À i>ÃÀnޑח¿eŸú¬<À ½+À i>ÃÀnŽŸO ½2ŽŽ‘…¹)¿yd“Ÿûz•ÀnŽ‘ ã¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½2ŽŽŽŽŽ¡’ˆ«¹(¿a–nì¹+“¿b“ Ÿûz•À Ž‘dƒ¿z{IŸûz•À i>ÃÀnŽ‘îM¿eŸú¬<À ½+À i>ÃÀnŽŸO ½3ŽŽ‘…¹)¿z{IŸûz•ÀnŽ‘#™¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½3ŽŽŽŽŽ¤‘~–¹=ŽŽ’ˆ«¿axŸûz•ÀnŽ‘¨P¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½1ŽŽ–<¹+›nì¿ayd“Ÿûz•ÀnŽ‘ ã¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½2ŽŽ“¹+˜¿az{IŸûz•ÀnŽ‘#™¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½3ŽŽŽŽŽ¡‘~–¹=ŽŽ’ˆ«¿aR¨Ÿûz•ÀnŽŽŽ’—ŠD¹(162)ŽŽŽ¦‘3$ªïsrc:181PART5.texwhere–@¿a“¹and“¿b“¹are–/non-zero“real“n•²!um“bšMÞers,‘Q:and–@¿n‘Ó1¹,‘$k¿ ‘  ¹and“¿ ‘–2¹are–/an²!y“p˜ositiv²!eŽŸ ‘"$ªinš²!tegers–•îincluding“zero“(except“¿ ‘¹=‘ §0).‘ƒ And“w˜e“also“ha˜v˜e“used“the“follo˜wing“relations:ŽŸÐp’´Qk¿a–nì¹+“¿b“ Ÿûz•À Ž‘dƒ¿xŸûz•À Ž‘®<¿eŸú¬<À ŽŸO ½1ŽŽ‘dQ¹=‘ §¿aŽŽ’—ŠD¹(163)ŽŽŽ¤€’´Ð˜¿a–nì¹+“¿b“ Ÿûz•À Ž‘dƒ¿yd“Ÿûz•À Ž‘Ï¿eŸú¬<À ŽŸO ½2ŽŽ‘dQ¹=‘ §¿aŽŽ’—ŠD¹(164)ŽŽŽ¡’µ¿a–nì¹+“¿b“ Ÿûz•À Ž‘dƒ¿z{IŸûz•À Ž‘)…¿eŸú¬<À ŽŸO ½3ŽŽ‘dQ¹=‘ §¿aŽŽ’—ŠD¹(165)ŽŽŽ¦‘3$ªïsrc:191PART5.texwhere‘f¿a–Ó1¹,‘3š¿b“¹,‘c¿ ‘Ý‘¹,›`i¿ ‘Ï'¹are–;5de ned“as“same“as“the“abMÞo•²!v“e–;5,˜and“¿ ‘Öð¹toMÞo,˜is“a“pMÞositiv²!eޤ ‘"$ªin²!teger–ˆ5including“zero.‘~xIn“general,‘Árthe“arithmetic“opMÞerations“of“dorbs“in“the“tunnels“ofŽ¡‘"$ªa–ì&tornado“can“bšMÞe“treated“as“same“as“the“arithmetic“op˜erations“in“their“corresp˜ondingŽ¡‘"$ªpaths.ŽŽŸv„’ãÖg19ŽŽŒ‹N® u0’ ý³CU 1F' ý홊‘3$ªïsrc:196PART5.tex¹It–½?is“easy“to“see“that“the“tornados“ohit-deriv›ÿdDativ²!es“are“similar“to“the“deriv˜ativ²!esޤ ‘"$ªthat–TZwš²!e“ha˜v˜e“used“toMÞda˜y–ÿe.‘ çºF“or‘TZsimplicit˜y“,‘¿×w˜e–TZwill“use“bMÞoth“Y‘ÿeun-Qi“notations“ofŽ¡‘"$ªderiv‘ÿdDativš²!es–¦fand“toMÞda˜y's“sym˜bMÞols“of“di eren˜tiation“together.‘ÝÝHence“w˜e“ha˜v˜e:ŽŸáç‘]¿d‘øÂŽ‘cëПü¨ÁRŽŽ‘jyع(¿R¨¹)ŽŽ’„ÃŽ=ŽŽŸ÷¢]’ñÖ Ÿ:u½(ÀR ¶½)ŽŽ’ñÖŸÔ ‰fe7åŸ t‘’Ì Ÿü¨ÁRŽŽŽŽŽŽ’°g•¹=Ÿø…ë‘=Ú ŸÈ®ÀŸÁxŽŽŽ‘=ÚŸð{‰feÁÍŸ t‘zP Ÿ¤zÀxŽŽŽŽŽ‘¡Æ¹+Ÿ÷éy‘¢ ŸÈ®ÀŸÁyŽŽŽ‘¢ŸŒí‰fe•[Ÿ t‘Š Ÿ¤zÀyŽŽŽŽŽ‘Ù™¹+Ÿø…ë‘¢ ŸÈ®ÀŸÁzŽŽŽ‘¢Ÿð{‰feaÌŸ t‘‰l Ÿ¤zÀzŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(166)ŽŽŽŸ¸š’„ÃŽ=ŽŽŸø—ž’”$â¿dŽ’ñÖŸÞȉfeŸ tdRŽŽŽŽ’Ÿ>(¹(¿Rš¨¹)– §=“Ÿûz•Ã0Ž‘Î9¹(¿R˜¹)ŽŽ’—ŠD(167)ŽŽŽŸ…ç’„ÃŽ=ŽŽŸø—ž’•p}¿d‘Ó1Ÿ¤zÀxŽŽ’ñÖŸÞȉfeRªŸ ¿d¹(¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ‘À¹)ŽŽŽŽ’±æŸ+Ÿø—ž‘ ¿d‘Ó1Ÿ¤zÀyŽŽ‘¢ŸÞȉfeÓ}Ÿ ¿d¹(¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ‘À¹)ŽŽŽŽ‘%»+Ÿø—ž‘ I¿d‘Ó1Ÿ¤zÀzŽŽ‘¢ŸÞȉfe£xŸ ¿d¹(¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽ‘À¹)ŽŽŽŽŽŽ’—ŠD(168)ŽŽŽŸ•Ü’„ÃŽ=ŽŽŸø—ž’œA¨¿dŽ’ñÖŸÞȉfeRªŸ d¹(¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ‘À¹)ŽŽŽŽ’¯w³¿Ÿ¤z½1Ž–À¹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ“¹)›nì+Ÿø—ž‘²Z¿dŽ‘¢ŸÞȉfeÓ}Ÿ d¹(¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹)ŽŽŽŽ‘"¨Ï¿Ÿ¤z½2Ž“¹(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹)˜+Ÿø—ž‘šX¿dŽ‘¢ŸÞȉfe£xŸ d¹(¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽ“¹)ŽŽŽŽ‘"xÊ¿Ÿ¤z½3Ž“¹(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ“¹)ŽŽ’—ŠD(169)ŽŽŽŸ K‘3$ªïsrc:215PART5.texBut–|Zin“Y‘ÿeun-Qi“Kingdom,‘„Ãthe“¿kX?Ÿü¾ÀthŽ‘ LT¹R-deriv‘ÿdDativ²!e“of“a“tornado“(¿R¨¹)“will“bMÞe“writtenŽ¡‘"$ªas:ŽŸïÝ’­ðY¿d‘øÂŽŸûz•’´?'ÀkŽŸ:j’´?'ŸX.ÁRŽŽŽ’ºÍ/¹(¿R•¨¹)‘ §=Ÿø—ž‘pæ¿dŸü¾ÀkŽŽ‘=ÚŸÞȉfe<±Ÿ t¿dŸüÖ0ÀkŽ‘#’¿RŽŽŽŽ‘­¾¹(¿R“¹)ŽŽ’—ŠC(170)ŽŽŽŸ V‘3$ªïsrc:221PART5.texNote–ñthat“the“righš²!t“of“the“abMÞo˜v˜e“equation“is“di eren˜t“with“the“¿kX?Ÿü¾ÀthŽ‘ Á¹deriv‘ÿdDativ˜e“formŽ¡‘"$ªwš²!e–¦fuse“toMÞda˜y‘ÿe.‘ÝÝThe“follo˜wing“notation:ŽŸîŸø—ž’Í{A¿dŸü¾ÀkŽŽ’ÉH5ŸÞȉfe<±Ÿ t¿dR¨ŸüÖ0ÀkŽŽŽŽŽ’Ý¸¹(¿R¨¹)ŽŽ’—ŠD(171)ŽŽŽŸ…‘3$ªïsrc:228PART5.texwill–¦fbMÞe“other“meanings“in“Y‘ÿeun-Qi“Kingdom.Ž¡‘3$ªïsrc:230PART5.texNo•²!w›¦fw“e˜can˜easily˜write˜do“wn˜the˜follo“wing˜deriv‘ÿdDativ“es:ŽŸ$‘NW¿d‘øÂŽ‘Tß%Ÿü¨ÁRŽŽ‘[m-¿R¨Ÿûz•ý1ŽŽŽŽ‘p¦¹=ŽŽŸø—ž’€ä¿dŽ‘{ÔØŸÞȉfeŸ tdRŽŽŽŽŸø—ž’Êœ¹1Ž’ŒT]ŸÞȉfefŸ t¿RŽŽŽŽŽŽŽ¤­ó‘p¦¹=ŽŽŸø—ž‘{ÔØ¿d¹(¿xŸü¾Ã½1Ž– \|¿eŸûeý1ŽŸ–¿1ŽŽ“¹)Ž‘{ÔØŸÞȉfe0KžŸ ‘üz¿d¹(¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ‘À¹)ŽŽŽŽ’¯Â•+Ÿø—ž‘¢¿d¹(¿yd“Ÿü¾Ã½1Ž‘ Á¿eŸûeý1ŽŸ–¿2ŽŽ‘ \|¹)Ž‘¢ŸÞȉfe/ÌqŸ ‘üz¿d¹(¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ‘À¹)ŽŽŽŽ‘7¯+Ÿø—ž‘¢¿d¹(¿z{IŸü¾Ã½1Ž‘ ×Å¿eŸûeý1ŽŸ–¿3ŽŽ‘ \|¹)Ž‘¢ŸÞȉfe/œlŸ ‘üz¿d¹(¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽ‘À¹)ŽŽŽŽŽŽŽ©U†‘p¦=ŽŽ‘z¡¥Â¿xŸûz•ý2Ž‘ \|¿eŸûeý2ŽŸ–¿1ŽŽ– Ëh›nì¿yd“Ÿûz•ý2Ž‘ Á¿eŸûeý2ŽŸ–¿2ŽŽ“˜¿z{IŸûz•ý2Ž‘ ×Å¿eŸûeý2ŽŸ–¿3ŽŽ‘g#¹=‘ §Â¿R¨Ÿûz•ý2ŽŽŽ’—ŠD¹(172)ŽŽŽŸþè‘NW¿d‘øÂŽ‘Tß%Ÿü¨ÁRŽŽ‘[m-¿R¨Ÿûz•ý2ŽŽŽŽ‘p¦¹=ŽŽŸø—ž’€ä¿dŽ‘{ÔØŸÞȉfeŸ tdRŽŽŽŽŸø—ž’*ž¹1Ž’ŒT]ŸÞȉfe &Ÿ t¿R¨ŸüÖ0½2ŽŽŽŽŽŽŽŽ¡‘p¦¹=ŽŽŸø—ž‘{ÔØ¿d¹(¿xŸü¾Ã½2Ž– \|¿eŸûeý2ŽŸ–¿1ŽŽ“¹)Ž‘{ÔØŸÞȉfe0KžŸ ‘üz¿d¹(¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ‘À¹)ŽŽŽŽ’¯Â•+Ÿø—ž‘¢¿d¹(¿yd“Ÿü¾Ã½2Ž‘ Á¿eŸûeý2ŽŸ–¿2ŽŽ‘ \|¹)Ž‘¢ŸÞȉfe/ÌqŸ ‘üz¿d¹(¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ‘À¹)ŽŽŽŽ‘7¯+Ÿø—ž‘¢¿d¹(¿z{IŸü¾Ã½2Ž‘ ×Å¿eŸûeý2ŽŸ–¿3ŽŽ‘ \|¹)Ž‘¢ŸÞȉfe/œlŸ ‘üz¿d¹(¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽ‘À¹)ŽŽŽŽŽŽŽ¦‘p¦=ŽŽ‘z¡¥Â¹2¿xŸûz•ý3Ž‘ \|¿eŸûeý3ŽŸ–¿1ŽŽ– Ëh›nì¹2¿yd“Ÿûz•ý3Ž‘ Á¿eŸûeý3ŽŸ–¿2ŽŽ“˜¹2¿z{IŸûz•ý3Ž‘ ×Å¿eŸûeý3ŽŸ–¿3ŽŽ‘g#¹=‘ §Â¹2¿R¨Ÿûz•ý3ŽŽŽ’—ŠD¹(173)ŽŽŽŸ#ÀŸø‘sc^.ޤ‘sc^.Ž¡‘sc^.ŽŽŽŽŽŸ ‘M¨ ¿d‘øÂŽ‘SöÙŸü¨ÁRŽŽ‘Z„á¿R¨Ÿûz•ÃÀnŽŽŽŽ‘p¦¹=ŽŽŸø—ž’€ä¿dŽ‘{ÔØŸÞȉfeŸ tdRŽŽŽŽŸø—ž’žÄ¹1Ž’ŒT]ŸÞȉfehŸ t¿R¨ŸüÖ0ÀnŽŽŽŽŽŽŽŽŽŸv„’ãÖg¹20ŽŽŒ‹^ u0’ ý³CU 1F' ýór'‘p¦¹=ŽŽŸø—ž‘{ÔØ¿d¹(¿xŸü¾ÃÀnŽ– DÈ¿eŸûeÃÀnŽŸ–¿½1ŽŽ“¹)Ž‘{ÔØŸÞȉfe26Ÿ ‘ äÆ¿d¹(¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ‘À¹)ŽŽŽŽ’±“-+Ÿø—ž‘¢¿d¹(¿yd“Ÿü¾ÃÀnŽ‘ ©[¿eŸûeÃÀnŽŸ–¿½2ŽŽ‘ Dȹ)Ž‘¢ŸÞȉfe1 Ÿ ‘ äÆ¿d¹(¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ‘À¹)ŽŽŽŽ‘8áG+Ÿø—ž‘¢¿d¹(¿z{IŸü¾ÃÀnŽ‘ À¿eŸûeÃÀnŽŸ–¿½3ŽŽ‘ Dȹ)Ž‘¢ŸÞȉfe1mŸ ‘ äÆ¿d¹(¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽ‘À¹)ŽŽŽŽŽŽŽŸX[‘p¦=ŽŽ‘z¡¥Â¿nxŸûz•ý(Àn½+1)Ž‘½¼¿eŸú:uý(Àn½+1)ŽŸÁg1ŽŽ– ,¨Â›nì¿nyd“Ÿûz•ý(Àn½+1)Ž‘"O¿eŸú:uý(Àn½+1)ŽŸÁg2ŽŽ“˜¿nz{IŸûz•ý(Àn½+1)Ž‘9¿eŸú:uý(Àn½+1)ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŸG‘p¦¹=ŽŽ‘z¡¥Â¿nR¨Ÿûz•ý(Àn½+1)ŽŽŽ’—ŠD¹(174)ŽŽŽŸÚ=‘3$ªïsrc:258PART5.texand:ŽŸc´‘v ì¿d‘øÂŽŸûz•‘|oº½2ŽŸ:j‘|oºŸX.ÁRŽŽŽ’‚ý¿R¨Ÿûz•ÀnŽŽŽŽ’’‚ù¹=ŽŽŸø—ž’¡äM¿dŸü¾½2ŽŽ’±AŸÞȉfeÙ#Ÿ t¿dŸüÖ0½2Ž‘À¿RŽŽŽŽ’±½—R¨Ÿûz•ÀnŽŽ’ÅáM¹=‘N¿n¹(¿n–n쓹1)¿R¨Ÿûz•Àný2ŽŽŽ’—ŠD¹(175)ŽŽŽŸ R‘v ì¿d‘øÂŽŸûz•‘|oº½3ŽŸ:j‘|oºŸX.ÁRŽŽŽ’‚ý¿R¨Ÿûz•ÀnŽŽŽŽ’’‚ù¹=ŽŽŸø—ž’¡äM¿dŸü¾½3ŽŽ’±AŸÞȉfeÙ#Ÿ t¿dŸüÖ0½3Ž‘À¿RŽŽŽŽ’±½—R¨Ÿûz•ÀnŽŽ’ÅáM¹=‘N¿n¹(¿n–n쓹1)(¿n““¹2)¿R¨Ÿûz•Àný3ŽŽŽ’—ŠD¹(176)ŽŽŽŸª¿Ÿø’•?Ç.ޤ’•?Ç.Ž¡’•?Ç.ŽŽŽŽŽŸïÝ‘v ì¿d‘øÂŽŸûz•‘|oºÀkŽŸ:j‘|oºŸX.ÁRŽŽŽ’‚ý¿R¨Ÿûz•ÀnŽŽŽŽ’’‚ù¹=ŽŽŸø—ž’¡äM¿dŸü¾ÀkŽŽ’±AŸÞȉfe<±Ÿ t¿dŸüÖ0ÀkŽ‘#’¿RŽŽŽŽ’²!%R¨Ÿûz•ÀnŽŽ’ÆDÛ¹=‘N¿n¹(¿n–n쓹1)–Ó1““Ž‘lŹ(¿n““¿k‘Ç+¹+“1)¿R¨Ÿûz•ÀnÃÀkŽŽŽ’—ŠD¹(177)ŽŽŽŸ÷‘3$ªïsrc:270PART5.texwhere›¦f¿n– §Â“¿kX?¹,˜and˜n,˜k˜are˜pMÞositiv•²!e˜in“tegers.ŽŸyš‘3$ªïsrc:274PART5.tex‘ñÃÓ‘Ó1ÈThirdŽ‘!B©¹,‘± Y–ÿeun-Qi›¦fT“ornados'˜R-Deriv‘ÿdDativ²!es˜and˜T“ornados'˜Dev•²!elopmen“tsŽ‘± Ÿº¥‰fe(p뎎ŸaD‘3$ªïsrc:279PART5.texF‘ÿeor–¦fthe“general“tornados“of“ohit“R,“for“example,“wš²!e“ha˜v˜e:ŽŸr1‘Zy*¿d‘øÂŽ‘`ÇøŸü¨ÁRŽŽ‘gV¿eŸûz•ÀR ¶Ÿý-:¾5ŽŽŽ‘z˜¹=– §5¿R¨Ÿûz•½4ޑլ¿eŸûz•ÀR ¶Ÿý-:¾5ŽŽ‘ :¹;‘¹›¿d‘øÂŽ‘iŸü¨ÁRŽŽ‘$–q¹sinŽ‘3ÛX¿RŽ‘?L¹=“cosŽ‘‡¿R¨¹;‘¹›¿d‘øÂŽ‘iŸü¨ÁRŽŽ‘$–q¹lnŽ‘/‰£¿RŽ‘:úb¹=Ÿø—ž‘´1Ž‘=ÚŸÞȉfefŸ t¿RŽŽŽŽŽŽ’—ŠC¹(178)ŽŽŽŸ“~‘3$ªïsrc:287PART5.texNoš²!w–ylet's“see“the“relationship“of“a“tornado“(¿R¨¹)“bMÞet˜w˜een“pMÞoin˜t“R‘y and“pMÞoin˜t“¿RŸ¤z½0Ž‘À¹.ŽŸ ‘"$ªGenerally‘ÿe,–¦fwš²!e“can“dev˜elop“a“ohit“tornado“(¿R¨¹)“at“pMÞosition“¿RŸ¤z½0Ž‘fj¹as“follo˜wing:ŽŸ ì‘fgü(¿R¨¹)ŽŽ’€±²=ŽŽ’ЬÇ(¿RŸ¤z½0Ž›À¹)–nì+“Ÿûz•Ã0Ž‘Î9¹(¿RŸ¤z½0Ž˜¹)(¿R‘„”“¿RŸ¤z½0Ž˜¹)“+Ÿø—ž‘'u1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t2!ŽŽŽŽ‘ Y—Ÿûz•Ã00Ž‘r¹(¿RŸ¤z½0Ž˜¹)(¿R‘„”“¿RŸ¤z½0Ž˜¹)Ÿûz•½2ŽŽŽŽ¤ù¾’Š¬Ç¹+Ÿø—ž‘¸‰1Ž‘33ŸÞȉfe„EŸ t3!ŽŽŽŽ‘ ꫟ûz•Ã000Ž‘j«¹(¿RŸ¤z½0Ž–À¹)(¿R‘„”›nì¿RŸ¤z½0Ž“¹)Ÿûz•½3Ž‘.ð¹+˜Â–Ó1“ŽŽŽ’—ŠD¹(179)ŽŽŽŸ~-‘3$ªïsrc:297PART5.texNo²!w–¦flet's“see“an“example.‘ÝÝF‘ÿeor“the“dorb“coMÞord“Âf ¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ–À¿;›Ó1 ¿eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ“¿;˜Â ¿eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ“Âg¹,–¦fwš²!e“ha˜v˜e:ŽŸO ‘L£ßsinŽ‘Z•(¿R¨¹)ÂjŸ_nÀR ¶½=à ÀeŸý¸ä¾1ŽŽŽŽ’‹Ê¹=ŽŽ’•ÅsinŽ’£6Ò(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–À¹)ÂjŸ¤zÀx½=Ã Ž‘ðù+‘nìsinŽ›à¢(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹)ÂjŸ¤zÀyI{½=Ã Ž‘¤é¹+‘nìsinŽ˜(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ“¹)ÂjŸ¤zÀzV…½=Ã ŽŽŽŽ©â’‹Ê¹=ŽŽ’•ÅsinŽ’£6Ò( ¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)–nì+“sinŽ‘à¢( ¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹)“+“sinŽ‘à¢( ¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ˜¹)ŽŽŽŸ3¯’‹Ê=ŽŽ’•Å( ¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ðŸø—ž‘'u¹1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t3!ŽŽŽŽ›ȃ Ÿûz•½3Ž“¿eŸûz•½3ŽŸ:j1ŽŽ“¹+Ÿø—ž‘'u1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t5!ŽŽŽŽ˜Â Ÿûz•½5Ž“¿eŸûz•½5ŽŸ:j1ŽŽ“¹+‘nì–Ó1“Ž‘?ö¹)–nì+“( ¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ–.ðŸø—ž‘'u¹1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t3!ŽŽŽŽ˜Â Ÿûz•½3Ž“¿eŸûz•½3ŽŸ:j2ŽŽŽŽŽ¡’•Ź+Ÿø—ž‘¸‰1Ž‘33ŸÞȉfe„EŸ t5!ŽŽŽŽ‘ Y— Ÿûz•½5Ž–.ð¿eŸûz•½5ŽŸ:j2ŽŽ“¹+‘nì–Ó1“Ž‘?ö¹)–nì+“( ¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ–.ðŸø—ž‘'u¹1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t3!ŽŽŽŽ›ȃ Ÿûz•½3Ž“¿eŸûz•½3ŽŸ:j3ŽŽ“¹+Ÿø—ž‘'u1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t5!ŽŽŽŽ˜Â Ÿûz•½5Ž“¿eŸûz•½5ŽŸ:j3ŽŽ“¹+‘nì–Ó1“Ž‘?ö¹)ŽŽŽŸ0’‹Ê=ŽŽ’•Å ¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì ¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜Â ¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘Ê«¹=‘ §Â ¿eŸûz•½1ŽŽŽ’—ŠD¹(180)ŽŽŽŸ‘=óØ¿d‘øÂŽ‘DB¦Ÿü¨ÁRŽŽ‘L£ß¹sinŽ‘Z•(¿R¨¹)ÂjŸ_nÀR ¶½=à ÀeŸý¸ä¾1ŽŽŽŽ’‹Ê¹=ŽŽ’•ÅcosŽ’¤nI(¿R¨¹)ÂjŸ_nÀR ¶½=à ÀeŸý¸ä¾1ŽŽŽŽŽ¦’‹Ê¹=ŽŽ’•ÅcosŽ’¤nI(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–À¹)ÂjŸ¤zÀx½=Ã Ž‘ðù+‘nìcosŽ›(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹)ÂjŸ¤zÀyI{½=Ã Ž‘¤é¹+‘nìcosŽ˜(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ“¹)ÂjŸ¤zÀzV…½=Ã ŽŽŽŽŽŸv„’ãÖg¹21ŽŽŒ‹nn u0’ ý³CU 1F' ý홊’‹Ê¹=ŽŽ’•ÅcosŽ’¤nI( ¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)–nì+“cosŽ‘( ¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹)“+“cosŽ‘( ¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ˜¹)ŽŽŽŸ3¯’‹Ê=ŽŽ’•Å(¿eŸûz•½0ŽŸ:j1ŽŽ–.ðŸø—ž‘'u¹1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t2!ŽŽŽŽ›ȃ Ÿûz•½2Ž“¿eŸûz•½2ŽŸ:j1ŽŽ“¹+Ÿø—ž‘'u1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t4!ŽŽŽŽ˜Â Ÿûz•½4Ž“¿eŸûz•½4ŽŸ:j1ŽŽ“¹+‘nì–Ó1“Ž‘?ö¹)–nì+“(¿eŸûz•½0ŽŸ:j2ŽŽ–.ðŸø—ž‘'u¹1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t2!ŽŽŽŽ˜Â Ÿûz•½2Ž“¿eŸûz•½2ŽŸ:j2ŽŽŽŽŽ©ù¾’•Ź+Ÿø—ž‘¸‰1Ž‘33ŸÞȉfe„EŸ t4!ŽŽŽŽ‘ Y— Ÿûz•½4Ž–.ð¿eŸûz•½4ŽŸ:j2ŽŽ“¹+‘nì–Ó1“Ž‘?ö¹)–nì+“(¿eŸûz•½0ŽŸ:j3ŽŽ–.ðŸø—ž‘'u¹1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t2!ŽŽŽŽ›ȃ Ÿûz•½2Ž“¿eŸûz•½2ŽŸ:j3ŽŽ“¹+Ÿø—ž‘'u1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t4!ŽŽŽŽ˜Â Ÿûz•½4Ž“¿eŸûz•½4ŽŸ:j3ŽŽ“¹+‘nì–Ó1“Ž‘?ö¹)ŽŽŽŸ0’‹Ê=ŽŽ’•Å¿eŸûz•½0ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿eŸûz•½0ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿eŸûz•½0ŽŸ:j3ŽŽ‘Ê«¹=‘ §¿eŸûz•½0ŽŽŽ’—ŠD¹(181)ŽŽŽŸj ‘=óØ¿d‘øÂŽŸûz•‘DB¦½2ŽŸ:j‘DB¦ŸX.ÁRŽŽŽ‘L£ß¹sinŽ‘Z•(¿R¨¹)ÂjŸ_nÀR ¶½=à ÀeŸý¸ä¾1ŽŽŽŽ’‹Ê¹=ŽŽ’•Å‘Ó1¹sinŽ‘Dç(¿R¨¹)ÂjŸ_nÀR ¶½=à ÀeŸý¸ä¾1ŽŽ‘SA¹=‘ §Â‘nì ‘›»¿eŸûz•½1ŽŽŽ’—ŠD¹(182)ŽŽŽ¤ºk‘=óØ¿d‘øÂŽŸûz•‘DB¦½3ŽŸ:j‘DB¦ŸX.ÁRŽŽŽ‘L£ß¹sinŽ‘Z•(¿R¨¹)ÂjŸ_nÀR ¶½=à ÀeŸý¸ä¾1ŽŽŽŽ’‹Ê¹=ŽŽ’•Å‘Ó1¹cosŽ‘|^(¿R¨¹)ÂjŸ_nÀR ¶½=à ÀeŸý¸ä¾1ŽŽ‘SA¹=‘ §Â¿eŸûz•½0ŽŽŽ’—ŠD¹(183)ŽŽŽ¡‘=óØ¿d‘øÂŽŸûz•‘DB¦½4ŽŸ:j‘DB¦ŸX.ÁRŽŽŽ‘L£ß¹sinŽ‘Z•(¿R¨¹)ÂjŸ_nÀR ¶½=à ÀeŸý¸ä¾1ŽŽŽŽ’‹Ê¹=ŽŽ’•Å+‘Ó1sinŽ‘Dç(¿R¨¹)ÂjŸ_nÀR ¶½=à ÀeŸý¸ä¾1ŽŽ‘SA¹=‘ §+–nì “¿eŸûz•½1ŽŽŽ’—ŠD¹(184)ŽŽŽ¡‘=óØ¿d‘øÂŽŸûz•‘DB¦½5ŽŸ:j‘DB¦ŸX.ÁRŽŽŽ‘L£ß¹sinŽ‘Z•(¿R¨¹)ÂjŸ_nÀR ¶½=à ÀeŸý¸ä¾1ŽŽŽŽ’‹Ê¹=ŽŽ’•Å+‘Ó1cosŽ‘|^(¿R¨¹)ÂjŸ_nÀR ¶½=à ÀeŸý¸ä¾1ŽŽ‘SA¹=‘ §+¿eŸûz•½0ŽŽŽ’—ŠD¹(185)ŽŽŽ¤‘3$ªïsrc:340PART5.tex’ƒf|–Ó1“Ž’’–Ó1“Ž’ ™¤–Ó1“Ž’¯38–Ó1“ŽŽŸ ‘3$ªïsrc:342PART5.tex¹where–¦fthe“U-TTI“has“bMÞeen“used.‘ÝÝHence:Ž¡‘UûsinŽ‘b†±(¿R¨¹)ŽŽ‘tçÞ=ŽŽ‘~âósinŽ’ŒT©( ¿eŸûz•½1Ž›À¹)–nì+“¿d‘øÂŽ‘½ºŸü¨ÁRŽŽ‘ó¹sinŽ‘©(¿R¨¹)ÂjŸ_nÀR ¶½=à ÀeŸý¸ä¾1ŽŽ‘Hš¹(¿R‘„”“ ¿eŸûz•½1Ž˜¹)ŽŽŽŸ«©‘~âó+Ÿø—ž‘¸‰1Ž‘33ŸÞȉfe„EŸ t2!ŽŽŽŽ‘ Y—¿d‘øÂŽŸûz•‘¨e½2ŽŸ:j‘¨eŸX.ÁRŽŽŽ‘¥Y¹sinŽ‘*(¿R¨¹)ÂjŸ_nÀR ¶½=à ÀeŸý¸ä¾1ŽŽ‘Hš¹(¿R‘„”‘nì ¿eŸûz•½1Ž‘À¹)Ÿûz•½2ŽŽŽŽ¦‘~âó¹+Ÿø—ž‘¸‰1Ž‘33ŸÞȉfe„EŸ t3!ŽŽŽŽ‘ Y—¿d‘øÂŽŸûz•‘¨e½3ŽŸ:j‘¨eŸX.ÁRŽŽŽ‘¥Y¹sinŽ‘*(¿R¨¹)ÂjŸ_nÀR ¶½=à ÀeŸý¸ä¾1ŽŽ‘Hš¹(¿R‘„”‘nì ¿eŸûz•½1Ž‘À¹)Ÿûz•½3ŽŽŽŽ¦‘~âó¹+Ÿø—ž‘¸‰1Ž‘33ŸÞȉfe„EŸ t4!ŽŽŽŽ‘ Y—¿d‘øÂŽŸûz•‘¨e½4ŽŸ:j‘¨eŸX.ÁRŽŽŽ‘¥Y¹sinŽ‘*(¿R¨¹)ÂjŸ_nÀR ¶½=à ÀeŸý¸ä¾1ŽŽ‘Hš¹(¿R‘„”‘nì ¿eŸûz•½1Ž‘À¹)Ÿûz•½4ŽŽŽŽ¦‘~âó¹+Ÿø—ž‘¸‰1Ž‘33ŸÞȉfe„EŸ t5!ŽŽŽŽ‘ Y—¿d‘øÂŽŸûz•‘¨e½5ŽŸ:j‘¨eŸX.ÁRŽŽŽ‘¥Y¹sinŽ‘*(¿R¨¹)ÂjŸ_nÀR ¶½=à ÀeŸý¸ä¾1ŽŽ‘Hš¹(¿R‘„”–nì ¿eŸûz•½1Ž‘À¹)Ÿûz•½5Ž‘.ð¹+“–Ó1“ŽŽŽŽ¦‘tçÞ¹=ŽŽ‘~âó ¿eŸûz•½1ŽŽ› H.¹+–nì¿eŸûz•½0Ž‘À¿R‘„”¹+Ÿø—ž‘'u1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t2!ŽŽŽŽ‘ Y—(“ “¿eŸûz•½1ŽŽ˜¹)¿R¨Ÿûz•½2Ž‘D˜¹+Ÿø—ž‘'u1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t3!ŽŽŽŽ‘ Y—(¿eŸûz•½0Ž‘À¹)¿R¨Ÿûz•½3ŽŽŽŽ¦‘~âó¹+Ÿø—ž‘¸‰1Ž‘33ŸÞȉfe„EŸ t4!ŽŽŽŽ‘ ê«( ¿eŸûz•½1ŽŽ‘ ÙB¹)¿R¨Ÿûz•½4Ž–D˜¹+Ÿø—ž‘'u1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t5!ŽŽŽŽ‘ Y—(¿eŸûz•½0Ž‘À¹)¿R¨Ÿûz•½5Ž“¹+‘nì–Ó1“ŽŽŽŽ¦‘tçÞ¹=ŽŽ‘~âó ¿eŸûz•½1ŽŽ‘ H.¹+‘nì¿R‘„”Ÿø—ž‘'u¹1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t2!ŽŽŽŽ‘ Y— ¿eŸûz•½1ŽŽ‘·¿R¨Ÿûz•½2Ž–D˜ÂŸø—ž‘'u¹1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t3!ŽŽŽŽ› Y—¿R¨Ÿûz•½3Ž“¹+Ÿø—ž‘'u1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t4!ŽŽŽŽ˜Â ¿eŸûz•½1ŽŽ‘·¿R¨Ÿûz•½4Ž“¹+Ÿø—ž‘'u1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t5!ŽŽŽŽ˜¿R¨Ÿûz•½5Ž“¹+‘nì–Ó1“ŽŽŽŽ¦‘tçÞ¹=ŽŽ‘~âó¿R‘„”Ÿø—ž‘'u¹1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t3!ŽŽŽŽ– Y—¿R¨Ÿûz•½3Ž›D˜¹+Ÿø—ž‘'u1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t5!ŽŽŽŽ“¿R¨Ÿûz•½5Ž˜¹+‘nì–Ó1“ŽŽŽ’—ŠD¹(186)ŽŽŽ¤…‘3$ªïsrc:366PART5.texwhere–¦fthe“folloš²!wing“terms“in“abMÞo˜v˜e“tornado:ŽŸ—ô’’Áâ ¿eŸûz•½1ŽŽ‘ ÙB¹;‘ ÆfŸø—ž‘¸‰¹1Ž‘33ŸÞȉfe„EŸ t2!ŽŽŽŽ‘ Y— ‘nì¿eŸûz•½1ŽŽ‘ H.¿R¨Ÿûz•½2ޑլ¹;Ÿø—ž‘~ï1Ž‘ ù™ŸÞȉfe„EŸ t4!ŽŽŽŽ‘ý ‘nì¿eŸûz•½1Ž‘À¿R¨Ÿûz•½4ŽŽŽŽ¡‘3$ªïsrc:372PART5.tex¹ha•²!v“e–¦fbšMÞeen“remo•²!v“ed–¦fout“b˜ecause“of“their“non-e ectivš²!e“con˜tributions.ŽŸ ‘3$ªïsrc:2PART6.texŽŸ€‘"$ªïsrc:4PART6.texÈVI.–2YUN-QI“INTEGRA‘þó\TIONŽŽŸv„’ãÖg¹22ŽŽŒ‹€c u0’ ý³CU 1F' ý홊‘3$ªïsrc:8PART6.tex¹Similar–SŠto“toMÞdaš²!y's“in˜tegrals,‘~Òthe“Y‘ÿeun-Qi“in˜tegrals“are“the“rev˜erse“opMÞerations“ofޤ ‘"$ªtheir–¦fcorrespMÞonding“Y‘ÿeun-Qi“deriv‘ÿdDativ²!es.ŽŸyš‘3$ªïsrc:13PART6.tex‘ñÃÓ‘Ó1ÈFirstŽ‘Kã¹,‘± The–¦fNotations“of“Ohitors'“R-In²!tegralsŽ‘± Ÿº¥‰feµŽŽŸaD‘3$ªïsrc:17PART6.texIn–RŠY‘ÿeun-Qi“Kingdom,‘cOwš²!e'll“emplo˜y“a“few“new“notations“to“denote“the“in˜tegrals“ofŽ¡‘"$ªohitors,–¦fexits“and“tornados.‘ÝÝT‘ÿeoMÞdaš²!y's“in˜tegral“notations“are“also“used“here.ŽŸW‘aj¼¿‘ø˜ÂŽ‘gNwŸü¨ÁRŽŽ‘mÜ¿eŸûz•½0ŽŽŽ‘y,¹=ŽŽŸø—ž’„ZØ¿jeŸü¾½0ŽŽ’„ZØŸÞȉfe!6Ÿ t‘¹•¿jRŽŽŽŽ’—¹è¹=‘ §Ÿò&»«ZŽ‘ÝÙ¿eŸûz•½0ŽŽ‘·¿dRŽŽŽ¤8ó‘y,¹=ŽŽ’ƒ'¥Ÿò&»«ZŽ’Žú׿eŸûz•½0ŽŸ:j1ŽŽ–À¿d¹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ“¹)–nì+“Ÿò&»«ZŽ›B¿eŸûz•½0ŽŸ:j2ŽŽ–À¿d¹(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹)–nì+“Ÿò&»«ZŽ˜¿eŸûz•½0ŽŸ:j3ŽŽ–À¿d¹(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ“¹)ŽŽŽŸ ì‘y,=ŽŽ’ƒ'¥¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘Ê«¹=‘ §¿RŽŽ’—ŠC¹(187)ŽŽŽŸ¿Ø‘bÝæ¿‘ø˜ÂŽ‘hÁ¡Ÿü¨ÁRŽŽ‘oO©¿RŽŽ‘y,¹=ŽŽŸø—ž’„ZØ¿jRŽ’„ZØŸÞȉfe ® Ÿ tjRŽŽŽŽ’–F¾¹=‘ §Ÿò&»«ZŽ‘ÝÙ¿R¨dRŽŽŽ¡‘y,¹=ŽŽ’ƒ'¥Ÿò&»«ZŽ’Žú׿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–À¿d¹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ“¹)–nì+“Ÿò&»«ZŽ‘B¿y•d“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ›À¿d¹(¿y“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹)–nì+“Ÿò&»«ZŽ‘B¿z•{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ˜¿d¹(¿z“eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ˜¹)ŽŽŽ©Ö‘‘y,=ŽŽŸø—ž’„ZØ1Ž’„ZØŸÞȉfeyšŸ t2ŽŽŽŽ’‹¥¿xŸûz•½2Ž‘À¿eŸûz•½2ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+Ÿø—ž‘¢1Ž‘¢ŸÞȉfeyšŸ t2ŽŽŽŽ› Nì¿yd“Ÿûz•½2Ž‘$—¿eŸûz•½2ŽŸ:j2ŽŽ“¹+Ÿø—ž‘¢1Ž‘¢ŸÞȉfeyšŸ t2ŽŽŽŽ˜¿z{IŸûz•½2Ž‘;M¿eŸûz•½2ŽŸ:j3ŽŽ‘Ê«¹=Ÿø—ž‘=Ú1Ž‘=ÚŸÞȉfeyšŸ t2ŽŽŽŽ‘ ê§¿R¨Ÿûz•½2ŽŽŽ’—ŠC¹(188)ŽŽŽŸ R‘^â¿‘ø˜ÂŽ‘dŸü¨ÁRŽŽ‘j¥¿R¨Ÿûz•½2ŽŽŽŽ‘y,¹=ŽŽŸø—ž’„ZØ¿jR¨Ÿü¾½2ŽŽ’„ZØŸÞȉfenŸ t‘`¿jRŽŽŽŽ’›¹=‘ §Ÿò&»«ZŽ‘ÝÙ¿R¨Ÿûz•½2ŽŽ‘õ¿dRŽŽŽ¡‘y,¹=ŽŽ’ƒ'¥Ÿò&»«ZŽ’Žú׿xŸûz•½2Ž–À¿eŸûz•½2ŽŸ:j1ŽŽ“¿d¹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ“¹)–nì+“Ÿò&»«ZŽ›B¿yd“Ÿûz•½2Ž‘$—¿eŸûz•½2ŽŸ:j2ŽŽ–À¿d¹(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹)–nì+“Ÿò&»«ZŽ˜¿z{IŸûz•½2Ž‘;M¿eŸûz•½2ŽŸ:j3ŽŽ–À¿d¹(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ“¹)ŽŽŽ¦‘y,=ŽŽŸø—ž’„ZØ1Ž’„ZØŸÞȉfeyšŸ t3ŽŽŽŽ’‹¥¿xŸûz•½3Ž‘À¿eŸûz•½3ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+Ÿø—ž‘¢1Ž‘¢ŸÞȉfeyšŸ t3ŽŽŽŽ› Nì¿yd“Ÿûz•½3Ž‘$—¿eŸûz•½3ŽŸ:j2ŽŽ“¹+Ÿø—ž‘¢1Ž‘¢ŸÞȉfeyšŸ t3ŽŽŽŽ˜¿z{IŸûz•½3Ž‘;M¿eŸûz•½3ŽŸ:j3ŽŽ‘Ê«¹=Ÿø—ž‘=Ú1Ž‘=ÚŸÞȉfeyšŸ t3ŽŽŽŽ‘ ê§¿R¨Ÿûz•½3ŽŽŽ’—ŠC¹(189)ŽŽŽŸª¿Ÿø‘{é^.ޤ‘{é^.Ž¡‘{é^.ŽŽŽŽŽŸ ‘]5–¿‘ø˜ÂŽ‘cQŸü¨ÁRŽŽ‘i§Y¿R¨Ÿûz•ÀnŽŽŽ‘y,¹=ŽŽŸø—ž’„ZØ¿jR¨Ÿü¾ÀnŽŽ’„ZØŸÞȉfeV\Ÿ t‘Ô(¿jRŽŽŽŽ’›ï¹=‘ §Ÿò&»«ZŽ‘ÝÙ¿R¨Ÿûz•ÀnŽŽ‘ìA¿dRŽŽŽ¡‘y,¹=ŽŽ’ƒ'¥Ÿò&»«ZŽ’Žú׿xŸûz•ÀnŽ–¨P¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½1ŽŽ“¿d¹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)–nì+“Ÿò&»«ZŽ‘B¿yd“Ÿûz•ÀnŽ‘ ã¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½2ŽŽ‘¨P¿d¹(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹)“+“Ÿò&»«ZŽ‘B¿z{IŸûz•ÀnŽ‘#™¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½3ŽŽ‘¨P¿d¹(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ˜¹)ŽŽŽ¦‘y,=ŽŽŸø—ž’ŽU11Ž’„ZØŸÞȉfenLŸ t¿n–nì¹+“1ŽŽŽŽ’žüW¿xŸûz•Àn½+1Ž‘„Ì¿eŸûeÀn½+1ŽŸ–¿1ŽŽ–ó¸¹+Ÿø—ž‘ œx1Ž‘¢ŸÞȉfenLŸ t¿n–nì¹+“1ŽŽŽŽ›Cž¿yd“Ÿûz•Àn½+1Ž‘é_¿eŸûeÀn½+1ŽŸ–¿2ŽŽ“¹+Ÿø—ž‘ œx1Ž‘¢ŸÞȉfenLŸ t¿n–nì¹+“1ŽŽŽŽ˜¿z{IŸûz•Àn½+1Ž‘¿eŸûeÀn½+1ŽŸ–¿3ŽŽŽŽŽŸãX‘y,¹=ŽŽŸø—ž’ŽU11Ž’„ZØŸÞȉfenLŸ t¿n–nì¹+“1ŽŽŽŽ’žüW¿R¨Ÿûz•Àn½+1ŽŽŽ’—ŠC¹(190)ŽŽŽŸ]î‘3$ªïsrc:48PART6.texwhere–|9the“new“sym²!bMÞol“\‘Ó1¿‘ø˜ÂŽ‘ й"“pronounced“\del-bar"“is“used“to“express“the“Y‘ÿeun-ޤ ‘"$ªQi–NºInš²!tegrals.‘ÖÚNote“that,‘xÏthe“in˜tegral“constan˜ts“ha˜v˜e“not“bMÞeen“men˜tioned“in“abMÞo˜v˜eŽ¡‘"$ªequations.‘úGenerally–¼if“not“spMÞeci ed,‘‡the“Y‘ÿeun-Qi“in²!tegrals“will“not“consider“thatŽ¡‘"$ªconstan²!ts.‘ ÂF›ÿeor– this“reason,‘d0the“Y˜un-Qi“inš²!tegrals“are“also“called“\core-in˜tegrals".Ž¡‘"$ªBut–¦fwš²!e“can“reco˜v˜er“that“constan˜ts“an˜y“time“while“needed.Ž¡‘3$ªïsrc:54PART6.texSimilarly‘ÿe,–¦fwš²!e“ha˜v˜e:ŽŸzì‘P¢'¿‘ø˜ÂŽ‘V…âŸü¨ÁRŽŽŸø—ž‘_½\¹1Ž‘^GŸÞȉfefŸ t¿RŽŽŽŽŽŽ‘iW7¹=ŽŽŸø—ž‘x¸‹¿Ž‘t…ŸÞȉfe ® Ÿ tjRŽŽŽŽ’ƒf¾¹(Ÿø—ž‘©r1Ž‘33ŸÞȉfefŸ t¿RŽŽŽŽ‘ Ì~¹)– §=“Ÿò&»«ZŽŸø—ž‘‡K¹1Ž‘ ŸÞȉfefŸ t¿RŽŽŽŽ‘ªWdRŽŽŽŽŸv„’ãÖg¹23ŽŽŒ‹‘É u0’ ý³CU 1F' ýñm‘iW7¹=ŽŽ‘sRLŸò&»«ZŽŸø—ž’…©“¹1Ž’€X±ŸÞȉfe]Ÿ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽŽŽŽŽ’‘§A¿d¹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)–nì+“Ÿò&»«ZŽŸø—ž‘†œ¹1Ž‘uQŸÞȉfeœ0Ÿ ¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽŽŽŽŽ‘ D´¿d¹(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹)“+“Ÿò&»«ZŽŸø—ž‘nš¹1Ž‘uQŸÞȉfel+Ÿ ¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽ‘ ¯¿d¹(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ˜¹)ŽŽŽŸ@‘iW7=ŽŽ‘sRLlnŽ‘|rM(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)–nì+“lnŽ‘ Ží(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹)“+“lnŽ‘ Ží(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ˜¹)– §=“lnŽ‘ ýÙ¿RŽŽ’—ŠC¹(191)ŽŽŽŸ¿Ø‘Kâ#¿‘ø˜ÂŽ‘QÅÞŸü¨ÁRŽŽŸø—ž‘]]Z¹1Ž‘Y‡ŸÞȉfe &Ÿ t¿R¨ŸüÖ0½2ŽŽŽŽŽŽŽ‘iW7¹=ŽŽŸø—ž‘x¸‹¿Ž‘t…ŸÞȉfe ® Ÿ tjRŽŽŽŽ’ƒf¾¹(Ÿø—ž‘ t1Ž‘33ŸÞȉfe &Ÿ t¿R¨ŸüÖ0½2ŽŽŽŽŽ‘Œ‚¹)– §=“Ÿò&»«ZŽŸø—ž‘çM¹1Ž‘ ŸÞȉfe &Ÿ t¿R¨ŸüÖ0½2ŽŽŽŽŽ‘j[¿dRŽŽŽ¤Ö‘‘iW7¹=ŽŽ‘sRLŸò&»«ZŽŸø—ž’ˆ •¹1Ž’€X±ŸÞȉfeÛaŸ ¿xŸüÖ0½2Ž‘À¿eŸü:u½2ŽŸÁg1ŽŽŽŽŽŽ’–gE¿d¹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)–nì+“Ÿò&»«ZŽŸø—ž‘æž¹1Ž‘uQŸÞȉfe\4Ÿ ¿yd“ŸüÖ0½2Ž‘$—¿eŸü:u½2ŽŸÁg2ŽŽŽŽŽŽ‘%¸¿d¹(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹)“+“Ÿò&»«ZŽŸø—ž‘Μ¹1Ž‘uQŸÞȉfe,/Ÿ ¿z{IŸüÖ0½2Ž‘;M¿eŸü:u½2ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽ‘$Ô³¿d¹(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ˜¹)ŽŽŽŸ ³‘iW7=ŽŽ‘sRLŸø—ž‘„¹1Ž‘33ŸÞȉfe]Ÿ ¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽŽŽŽŽ‘ð¯ÂŸø—ž‘³j¹1Ž‘¢ŸÞȉfeœ0Ÿ ¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽŽŽŽŽ‘ànŸø—ž‘›h¹1Ž‘¢ŸÞȉfel+Ÿ ¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽŽŽŽŽ‘L$¹=‘ §ÂŸø—ž‘©r¹1Ž‘33ŸÞȉfefŸ t¿RŽŽŽŽŽŽ’—ŠC¹(192)ŽŽŽŸº´Ÿø‘l.ޤ‘l.Ž¡‘l.ŽŽŽŽŽŸ ‘Jù׿‘ø˜ÂŽ‘PÝ’Ÿü¨ÁRŽŽŸø—ž‘\é4¹1Ž‘XžÍŸÞȉfehŸ t¿R¨ŸüÖ0ÀnŽŽŽŽŽŽŽ‘iW7¹=ŽŽŸø—ž‘x¸‹¿Ž‘t…ŸÞȉfe ® Ÿ tjRŽŽŽŽ’ƒf¾¹(Ÿø—ž‘}š1Ž‘33ŸÞȉfehŸ t¿R¨ŸüÖ0ÀnŽŽŽŽŽ‘tι)– §=“Ÿò&»«ZŽŸø—ž‘[s¹1Ž‘ ŸÞȉfehŸ t¿R¨ŸüÖ0ÀnŽŽŽŽŽ‘R§¿dRŽŽŽ¡‘iW7¹=ŽŽ‘sRLŸò&»«ZŽŸø—ž’ˆñá¹1Ž’€X±ŸÞȉfe«ùŸ t¿xŸüÖ0ÀnŽ‘¨P¿eŸü:uÀnŽŸÁg½1ŽŽŽŽŽŽ’˜7Ý¿d¹(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›À¹)–nì+“Ÿò&»«ZŽŸø—ž‘Îê¹1Ž‘uQŸÞȉfe,ÌŸ t¿yd“ŸüÖ0ÀnŽ‘ ã¿eŸü:uÀnŽŸÁg½2ŽŽŽŽŽŽ‘&ÕP¿d¹(¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹)“+“Ÿò&»«ZŽŸø—ž‘¶è¹1Ž‘uQŸÞȉfeüÇŸ t¿z{IŸüÖ0ÀnŽ‘#™¿eŸü:uÀnŽŸÁg½3ŽŽŽŽŽŽ‘&¥K¿d¹(¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ˜¹)ŽŽŽŸõš‘iW7=ŽŽ‘sRLŸø—ž‘%¢(¹1Ž‘33ŸÞȉfeNWƒŸ õå(¿n–n쓹1)¿xŸüÖ0Àný1Ž‘„Ì¿eŸûeÀný1ŽŸ–¿1ŽŽŽŽŽŽ‘S,ÕŸø—ž‘'Ñ}¹1Ž‘¢ŸÞȉfeMØVŸ õå(¿n–n쓹1)¿yd“ŸüÖ0Àný1Ž‘é_¿eŸûeÀný1ŽŸ–¿2ŽŽŽŽŽŽ‘U”Ÿø—ž‘'¹{¹1Ž‘¢ŸÞȉfeM¨QŸ õå(¿n–n쓹1)¿z{IŸüÖ0Àný1Ž‘¿eŸûeÀný1ŽŸ–¿3ŽŽŽŽŽŽŽŽŽŸß ‘iW7¹=ŽŽ‘sRLŸø—ž‘å!¹1Ž‘33ŸÞȉfe:ÝvŸ t(¿n–n쓹1)¿R¨ŸüÖ0Àný1ŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠC¹(193)ŽŽŽŸµ‘3$ªïsrc:82PART6.texF›ÿerom–»Þthe“abMÞo•²!v“e,‘¹)› §=Ÿø—ž‘p濎‘=ÚŸÞȉfe ® Ÿ tjRŽŽŽŽ“¹(Ÿø—ž‘E1Ž‘33ŸÞȉfe ?Ÿ t¿n¹!ŽŽŽŽ‘ ¥¿R¨Ÿûz•ÀnŽ‘½ø¹)˜=Ÿø—ž‘ÿ¬1Ž‘=ÚŸÞȉfe$ý=Ÿ t(¿n–nì¹+“1)!ŽŽŽŽ‘*nJ¿R¨Ÿûz•Àn½+1ŽŽŽ’—ŠC¹(196)ŽŽŽŸ#O‘3$ªïsrc:105PART6.tex‘ñÃÓ‘Ó1ÈSecondŽ‘(z ¹,‘± T›ÿeornados–¦fIn²!tegrals“and“T˜ornados“De nite“In²!tegralsŽ‘± Ÿº¥‰feôÃZŽŽŸaD‘3$ªïsrc:110PART6.texThe–3ÅR-inš²!tegrals“of“tornados,‘—are“similar“to“toMÞda˜y's“functions'“in˜tegrals.‘ …ûTheŽ¡‘"$ªfolloš²!wing–¦fwill“sho˜w“us“that:ŽŸáW‘e'ì¿‘ø˜ÂŽ‘k §Ÿü¨ÁRŽŽ‘q™¯¹sinŽ’€Þ–¿RŽ’ŒOU¹=– §Â‘Ó1¹cosŽ‘O¿Rš¨¹;‘ Æf¿‘ø˜ÂŽ‘ª!Ÿü¨ÁRŽŽ‘8)¹cosŽ‘)´‡¿RŽ‘5%F¹=“sinŽ‘OŽ¿R˜¹;‘ Æf¿‘ø˜ÂŽ‘ª!Ÿü¨ÁRŽŽ‘8)¿eŸûz•ÀRŽŽ‘(O¡¹=“¿eŸûz•ÀRŽŽŽ’—ŠD¹(197)ŽŽŽ¤Ãd‘3$ªïsrc:119PART6.texF–ÿeor›¦fY“un-Qi˜de nite˜in²!tegrals,˜let:Ž¡‘d€j¿A– §¹=“¿aŸ¤z½1Ž–À¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ›.ð¹+‘nì¿aŸ¤z½2Ž“¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹+‘nì¿aŸ¤z½3Ž“¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ“¿;‘¹›B‘—K¹=‘ §¿bŸ¤z½1Ž“¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ˜¹+‘nì¿bŸ¤z½2Ž“¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ˜¹+‘nì¿bŸ¤z½3Ž“¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽŽŽ’—ŠC¹(198)ŽŽŽŽŸv„’ãÖg24ŽŽŒ‹£ u0’ ý³CU 1F' ý홊‘3$ªïsrc:126PART6.tex¹then–¦fthe“de nite“R-in²!tegral“of“a“tornado“(¿R¨¹)“from“A“to“B“is:ޤ¶v‘k©Ÿî©«(ŽŸø—ž‘s·?¿R‘ O¹=‘ §¿BŽŸë=‘t ~R‘ O¹=‘ §¿AŽŽ’“‘ÏŸî©«)ŽŽŽ’žö¿‘ø˜ÂŽ’£ò±Ÿü¨ÁRŽŽ’¬ï¥¹(¿R¨¹)ŽŽŽ’Ç9[=ŽŽ’Ñ4pŸî©«(ŽŸø—ž’ÙB«¿R‘ O¹=‘ §¿BŽŸë=’Ù”êR‘ O¹=‘ §¿AŽŽ’ù;Ÿî©«)ŽŽŽŸø—ž’q¿j¹Ž’^©ŸÞȉfe ® Ÿ t¿jRŽŽŽŽ’J¹=‘ §Ÿò&»«ZŽŸõQf‘ ¨ÀR ¶½=ÀBŽŸŽH‘˜áR ¶½=ÀAŽŽ‘#<"¹(¿R¨¹)¿dRŽŽ’—ŠC¹(199)ŽŽŽŸ½‘3$ªïsrc:134PART6.texIf–òöan“ohit“¿RŸ¤z½1Ž›²ú¹ranging“from“¿A“¹to“¿B‘Œ¤¹,‘and“an“ohit“¿RŸ¤z½2Ž˜¹ranging“from“¿C‘»w¹to“¿DMÞ¹,‘thenŽ© ‘"$ªthe–¦fdouble“de nite“¿RŸ¤z½12Ž‘ ¹-inš²!tegrals“of“a“t˜w˜o-ohit“tornado“–Ó1(¿RŸ¤z½1Ž›À¿;“RŸ¤z½2Ž˜¹)‘y—will‘¦fbMÞe:Ž¡‘FÅ<Ÿî©«(ŽŸø—ž‘NÓw¿BŽŸë=‘O%¶AŽŽ‘W®[Ÿî©«)ŽŽŽ‘_¼–Ÿ Ã>ÀRŸq¾1ŽŽ‘jΟ(ŽŸø—ž‘rÜU¿DŽŸë=‘s=¬CŽŽ‘|;Ÿî©«)ŽŽŽ’„I?Ÿ Ã>ÀRŸq¾2ŽŽ’‘ɯ¿‘ø˜ÂŽ’—­jŸü¨ÁRŸÌ;1ŽŽŽ’¤Ïa¿‘ø˜ÂŽ’ª³Ÿü¨ÁRŸÌ;2ŽŽŽ’µf'¹(¿RŸ¤z½1Ž–À¿;‘Ó1RŸ¤z½2Ž“¹)Ž’çÜa=‘ §Ÿî©«(ŽŸø—ž‘ â¿BŽŸë=‘ k!AŽŽ‘óÆŸî©«)ŽŽŽ‘Ÿ Ã>ÀRŸq¾1ŽŽ‘'…Ÿî©«(ŽŸø—ž‘/!À¿DŽŸë=‘/ƒCŽŽ‘8€oŸî©«)ŽŽŽ‘@ŽªŸ Ã>ÀRŸq¾2ŽŽŸø—ž‘LÓa¿jŸü¾½2Ž‘*¹(¿RŸ¤z½1Ž–À¿;‘Ó1RŸ¤z½2Ž“¹)Ž‘LÓaŸÞȉfe9s‹Ÿ t‘ a^¿jRŸ¤z½1ŽŽ‘ z‹¿jRŸ¤z½2ŽŽŽŽŽŽŽŽŽŸ"À’ÎS¹=‘ §Ÿò&»«ZŽŸõQf‘ ¨ÀRŸq¾1Ž‘*§½=ÀBŽŸŽH‘˜áRŸq¾1Ž‘*§½=ÀAŽŽ‘'ZŸò&»«ZŽŸõQf‘1ZÀRŸq¾2Ž‘*§½=ÀDŽŸŽH‘,èMRŸq¾2Ž‘*§½=ÀCŽŽ‘Lå¹(¿RŸ¤z½1Ž–À¿;‘Ó1RŸ¤z½2Ž“¹)¿dRŸ¤z½1ŽŽ‘ t¿dRŸ¤z½2ŽŽŽŽ’—ŠD¹(200)ŽŽŽŸõÑ3$ªïsrc:147PART6.texwhere–Ÿthe“brace“sym²!bšMÞol“\Ÿ÷©–«ŽŸû$"Ÿ¢†Ž‘@Ÿ÷©– ŽŽ‘ Z¹"“has“b˜een“emplo•²!y“ed–Ÿfor“Y‘ÿeun-Qi“de nite“in²!tegrals.ŽŸ °‘"$ªT‘ÿeoMÞda•²!y's›¦fin“tegral˜sym“b•MÞol˜Ÿ÷´ø«RŽ‘ ÷w¹also˜b“e˜k²!ept˜here.ަ‘3$ªïsrc:151PART6.texIn–?gY‘ÿeun-Qi“Kingdom,‘Twš²!e“will“emplo˜y“more“notations“for“deriv‘ÿdDativ˜es“and“in˜tegralsަ‘"$ªfor–‹Hsimplicitš²!y‘ÿe.‘ÔÓThe“follo˜wing“table“ma˜y“let“y˜ou“easily“to“remem˜bMÞer“all“the“notationsަ‘"$ªthat–¦fwš²!e“will“use“in“Y‘ÿeun-Qi“di eren˜tiation“and“in˜tegration:ŽŸç]Ÿø—ž‘h2¿d¹Ž‘gÆjŸÞȉfeŸ t¿dRŽŽŽŽ‘zc¹=‘ §¿d‘øÂŽ‘ YuŸü¨ÁRŽŽ‘ç}¹– §=“Ÿò&»«ZŽ›ÝÙ¹¿dŸûz•ý1Ž‘ \|¿R‘ O¹=“Ÿò&»«ZŽ˜¹¿šjR‘ O¹=“¿‘ø˜ÂŽŸûe‘îbý1ŽŸæc‘îbÀRŽŽ‘JÞ¹“=Ÿø—ž‘|¢¿˜Ÿü¾Ã½1Ž‘ Æ“¹Ž‘=ÚŸÞȉfe ˆŸ t¿˜ŸüÖ0ý1Ž‘ Æ“¿RŽŽŽŽŽŽ’—ŠC¹(201)ŽŽŽŸé%Ÿø—ž‘h2¿j¹Ž‘gÆjŸÞȉfe ® Ÿ t¿jRŽŽŽŽ‘y²P¹=‘ §¿‘ø˜ÂŽ‘îbŸü¨ÁRŽŽ‘|j¹– §=“Ÿò&»«ZŽ›ÝÙ¹¿jŸûz•ý1Ž‘ Æ“¿R‘ O¹=“Ÿò&»«ZŽ˜¹¿dR‘ O¹=“¿d‘øÂŽŸûe‘ Yuý1ŽŸæc‘ YuÀRŽŽ‘µñ¹“=Ÿø—ž‘|¢¿dŸü¾Ã½1Ž‘ \|¹Ž‘=ÚŸÞȉfeu›Ÿ t¿dŸüÖ0ý1Ž‘ \|¿RŽŽŽŽŽŽ’—ŠC¹(202)ŽŽŽŸ½˜‘3$ªïsrc:165PART6.texwhere–dHwš²!e“ha˜v˜e“used“dŸü¾Ã½1Ž‘£›¹=‘G¿‘=H;‘7y¹an“in˜v˜erse“deriv‘ÿdDativ˜e“equals“to“an“in˜tegral,‘“Áandަ‘"$ª¿jŸü¾Ã½1Ž‘Ñ:¹=‘ §¿d‘Ó1;‘y—¹an›¦fin•²!v“erse˜in“tegral˜equals˜to˜a˜deriv‘ÿdDativ“e.ަ‘3$ªïsrc:2PART7.texŽŸžk‘"$ªïsrc:4PART7.texÈVIY‹I.–2YUN-QI“BEXLS“IŽŸ6g‘3$ªïsrc:8PART7.tex¹Except– Cthe“ohitorŸü¾½0À;½1À;½2Ž‘7¹to“a“limited“exten²!t,›c:all“ohitors,˜exits“and“tornados“areަ‘"$ªin•²!visible,›¦fun“touc“hable,˜and˜unmeasurable.ަ‘3$ªïsrc:11PART7.texA‘7Jsp•MÞecial›7±op“eration˜named˜as˜\b“exl",–œis˜the˜bridge˜to˜connect˜ohitors,“exitsަ‘"$ªand–tornados“with“toMÞdaš²!y's“measuring“systems,‘+®whic˜h“are“considered“as“visible“andަ‘"$ªtouc•²!hable›ªrealit“y‘ÿe.‘«IOr,‘-y“ou˜ma“y˜simply˜consider˜that˜these˜opMÞerations˜will˜deliv“er˜theަ‘"$ªY‘ÿeun-Qi–â¤exits“and“tornados“to“toMÞdaš²!y's“familiar“functions.‘’—I'll“lik˜e“to“denote“bMÞexl“b˜yަ‘"$ª\@".‘ÝÝThe–¦ffolloš²!wing“will“in˜troMÞduce“y˜ou“one“of“these“spšMÞecial“op˜erations.ŽŸyš‘3$ªïsrc:19PART7.tex‘ñÃÓ‘Ó1ÈFirstŽ‘Kã¹,‘± Bexls–¦fof“Zenks“or“ExitŸü¾½0ŽŽ‘± Ÿ™”‰feoøŽŽŸaD‘3$ªïsrc:23PART7.tex¹F‘ÿeor‘¦f¿Z‘ûNîÂjŽ‘ y’Ÿ<ÌÀRŽ‘w̹=‘ §¿Z‘ûNîÂjŽ‘ èz¹=– §¿R¨Ÿü¾½0Ž‘àS¹=“¿eŸü¾½0Ž‘À¹,–¦fwš²!e“ha˜v˜e:ŽŸ&ß’–ïàBexlŽ’¯l$¿Z‘ûNîÂjŽ’µ?PŸ<ÌÀRŽ’ÂH1¹=‘N@‘Ó1¿eŸûz•½0ŽŽŽ’æ‰M¹=ŽŽ’ð„b@‘Ó1(¿eŸûz•½0ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿eŸûz•½0ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿eŸûz•½0ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)ŽŽŽŸ³¯’æ‰M=ŽŽŸø—ž’ñ·•1Ž’ñ·•ŸÞȉfeyšŸ t3ŽŽŽŽ’úÓN+Ÿø—ž‘¢1Ž‘¢ŸÞȉfeyšŸ t3ŽŽŽŽ‘ ½Ø+Ÿø—ž‘¢1Ž‘¢ŸÞȉfeyšŸ t3ŽŽŽŽŽŽŽŸ¹A’æ‰M=ŽŽ’ð„b1Ž’—ŠC(203)ŽŽŽŽŸv„’ãÖg25ŽŽŒ‹¶ð u0’ ý³CU 1F' ý홊‘3$ªïsrc:32PART7.tex¹Note–µ that,‘¸·eacš²!h“eed“of“a“zenk“will“bMÞexls“to“one“third.‘ ÑF‘ÿeor“an˜y“R-exitŸü¾½0Ž‘À¹,‘¸·if–ˆ>¿a“¹andŽŸ ‘"$ª¿b‘y—¹are–¦fanš²!y“real“n˜um˜bMÞers,“w˜e“ha˜v˜e:ޤàW’„™"BexlŽ’f(¿a‘›»Z‘ûNîÂjŽ‘nçŸ<ÌÀRŽ‘Ñf¹+¿bZ‘ûNîÂjŽ‘Ó,Ÿ<ÌÀRŽ‘ Æ¿¹)ŽŽ’Ö©®=ŽŽ’ã¯j@‘Ó1(¿a–nì¹+“¿b¹)¿eŸûz•½0ŽŽŽŽŸê ’Ö©®¹=ŽŽ’à¤Ã(¿a–nì¹+“¿b¹)–Ó1@“(¿eŸûz•½0ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿eŸûz•½0ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿eŸûz•½0ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)ŽŽŽŸ3¯’Ö©®=ŽŽ’à¤Ã(¿a–nì¹+“¿b¹)(Ÿø—ž‘331Ž‘33ŸÞȉfeyšŸ t3ŽŽŽŽ– Nì+Ÿø—ž‘¢1Ž‘¢ŸÞȉfeyšŸ t3ŽŽŽŽ‘ ½Ø+Ÿø—ž‘¢1Ž‘¢ŸÞȉfeyšŸ t3ŽŽŽŽ“)ŽŽŽŸ¹A’Ö©®=ŽŽ’à¤Ã¿a–nì¹+“¿bŽŽ’—ŠC¹(204)ŽŽŽŸYñ‘3$ªïsrc:46PART7.tex‘ñÃÓ‘Ó1ÈSecondŽ‘(z ¹,‘± Bexls–¦fof“Ohitors,“Exits“and“T‘ÿeornadosŽ‘± Ÿº¥‰fe²‹ÊŽŽŸaD‘3$ªïsrc:50PART7.texF‘ÿeor–¦fohitors,“wš²!e“ha˜v˜e“the“follo˜wing“bšMÞexls“b˜elo²!w:Ž¡’‹´óBexlŽ’¤17¿RŽŽ’®¹=ŽŽ’¸ 3@‘Ó1(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)ŽŽŽ¤e^’®=ŽŽ’¸ 3[‘Ó1(¿x¹)Ÿø5K‘33¾2Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ1ŽŽŽ–ÿù¹+›nì(¿yd“¹)Ÿø5K‘33¾2Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ1ŽŽŽ“¹+˜(¿z{I¹)Ÿø5K‘33¾2Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ1ŽŽŽ‘d>¹]Ÿø5K‘33¾1Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ2ŽŽŽ‘ ›´¹=‘ §¿rŽŽ’—ŠD¹(205)ŽŽŽ©j ’†ôïBexlŽ’Ÿq3¿R¨Ÿûz•½2ŽŽŽ’®¹=ŽŽ’¸ 3@‘Ó1(¿xŸûz•½2Ž‘À¿eŸûz•½2ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“Ÿûz•½2Ž‘$—¿eŸûz•½2ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸûz•½2Ž‘;M¿eŸûz•½2ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)ŽŽŽ¡’®=ŽŽ’¸ 3[‘Ó1(¿xŸûz•½2Ž‘À¹)Ÿø5K‘33¾2Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ2ŽŽŽ–ÿù¹+›nì(¿yd“Ÿûz•½2Ž‘$—¹)Ÿø5K‘33¾2Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ2ŽŽŽ“¹+˜(¿z{IŸûz•½2Ž‘;M¹)Ÿø5K‘33¾2Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ2ŽŽŽ‘d>¹]Ÿø5K‘33¾2Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ2ŽŽŽ‘ ›´¹=‘ §¿rMÞŸûz•½2ŽŽŽ’—ŠD¹(206)ŽŽŽ¦’†ôïBexlŽ’Ÿq3¿R¨Ÿûz•½3ŽŽŽ’®¹=ŽŽ’¸ 3@‘Ó1(¿xŸûz•½3Ž‘À¿eŸûz•½3ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“Ÿûz•½3Ž‘$—¿eŸûz•½3ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸûz•½3Ž‘;M¿eŸûz•½3ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)ŽŽŽ¡’®=ŽŽ’¸ 3[(¿xŸûz•½3Ž‘À¹)Ÿø5K‘33¾2Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ3ŽŽŽ–ÿù¹+›nì(¿yd“Ÿûz•½3Ž‘$—¹)Ÿø5K‘33¾2Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ3ŽŽŽ“¹+˜(¿z{IŸûz•½3Ž‘;M¹)Ÿø5K‘33¾2Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ3ŽŽŽ‘‘ ¹]Ÿø5K‘33¾3Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ2ŽŽŽ‘ ›´¹=‘ §¿rMÞŸûz•½3ŽŽŽ’—ŠD¹(207)ŽŽŽŸä°Ÿø’°Êì.ޤ’°Êì.Ž¡’°Êì.ŽŽŽŽŽŸ’† £BexlŽ’žˆç¿R¨Ÿûz•ÀnŽŽŽ’®¹=ŽŽ’¸ 3@‘Ó1(¿xŸûz•ÀnŽ‘¨P¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½1ŽŽ–<¹+›nì¿yd“Ÿûz•ÀnŽ‘ ã¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸûz•ÀnŽ‘#™¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½3ŽŽ‘¨P¹)ŽŽŽ¡’®=ŽŽ’¸ 3[(¿xŸûz•ÀnŽ‘¨P¹)Ÿø5K‘¬û¾2Ž‘33Ÿx|‰fež7ŸïõÁnŽŽŽ– ó‰¹+›nì(¿yd“Ÿûz•ÀnŽ‘ ã¹)Ÿø5K‘¬û¾2Ž‘33Ÿx|‰fež7ŸïõÁnŽŽŽ“¹+˜(¿z{IŸûz•ÀnŽ‘#™¹)Ÿø5K‘¬û¾2Ž‘33Ÿx|‰fež7ŸïõÁnŽŽŽ‘„¹]Ÿø5K‘33ÁnŽ‘33Ÿx|‰fež7ŸïõyȾ2ŽŽŽ‘ D¹=‘ §¿rMÞŸûz•ÀnŽŽŽ’—ŠD¹(208)ŽŽŽŸàW‘3$ªïsrc:76PART7.texSimilarly–¦fwš²!e“ha˜v˜e:ŽŸxK‘sÕ§BexlŽŸø—ž’Žû]1Ž’…ŸÞȉfefŸ t¿RŽŽŽŽŽŽ’˜•8¹=ŽŽŸø—ž’ÏhŒ1Ž’£Ã€ŸÞȉfe\ñŸ @‘Ó1(¿xeŸü:u½1ŽŸÁg1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸü:u½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸü:u½1ŽŸÁg3ŽŽ‘À¹)ŽŽŽŽŽŽŽŸ ³’˜•8=ŽŽŸø—ž’Ô'ø1Ž’£Ã€ŸÞȉfefBŠŸ §9[(¿x¹)ŸøiÓ‘33¾2Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ1ŽŽŽ–ÿù¹+›nì(¿yd“¹)ŸøiÓ‘33¾2Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ1ŽŽŽ“¹+˜(¿z{I¹)ŸøiÓ‘33¾2Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ1ŽŽŽ‘‘ ¹]ŸøiÓ‘33¾1Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ2ŽŽŽŽŽŽŽ’Cä¹=Ÿø—ž‘=Ú1Ž‘=ÚŸÞȉfeyšŸ t†¿rŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(209)ŽŽŽŸQO‘o£BexlŽŸø—ž’Œ›[1Ž’ˆÅŸÞȉfe &Ÿ t¿R¨ŸüÖ0½2ŽŽŽŽŽŽŽ’˜•8¹=ŽŽ’¢M@‘Ó1(¿xŸûz•ý2Ž‘ \|¿eŸûeý2ŽŸ–¿1ŽŽ– Ëh¹+›nì¿yd“Ÿûz•ý2Ž‘ Á¿eŸûeý2ŽŸ–¿2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸûz•ý2Ž‘ ×Å¿eŸûeý2ŽŸ–¿3ŽŽ‘ \|¹)ŽŽ’—ŠD(210)ŽŽŽ¤ù¾’˜•8=ŽŽ’¢M[(¿xŸûz•ý2Ž‘ \|¹)Ÿ÷”‘À¾2Ž‘33Ÿx|‰fe qÀŸïõľ2ŽŽŽ–Ç¹+›nì(¿yd“Ÿûz•ý2Ž‘ Á¹)Ÿ÷”‘À¾2Ž‘33Ÿx|‰fe qÀŸïõľ2ŽŽŽ“¹+˜(¿z{IŸûz•ý2Ž‘ ׏)Ÿ÷”‘À¾2Ž‘33Ÿx|‰fe qÀŸïõľ2ŽŽŽ‘ X&¹]Ÿø ©‘33ľ2Ž‘33Ÿ¢‰fe qÀŸïõ‘ã2ŽŽŽ‘b͹=Ÿø—ž‘€V1Ž‘=ÚŸÞȉfe þ’Ÿ t¿rMÞŸüÖ0½2ŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(211)ŽŽŽ¡‘o£BexlŽŸø—ž’Œ›[1Ž’ˆÅŸÞȉfe &Ÿ t¿R¨ŸüÖ0½3ŽŽŽŽŽŽŽ’˜•8¹=ŽŽ’¢M@‘Ó1(¿xŸûz•ý3Ž‘ \|¿eŸûeý3ŽŸ–¿1ŽŽ– Ëh¹+›nì¿yd“Ÿûz•ý3Ž‘ Á¿eŸûeý3ŽŸ–¿2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸûz•ý3Ž‘ ×Å¿eŸûeý3ŽŸ–¿3ŽŽ‘ \|¹)ŽŽ’—ŠD(212)ŽŽŽ¡’˜•8=ŽŽ’¢M[(¿xŸûz•ý3Ž‘ \|¹)Ÿ÷”‘À¾2Ž‘33Ÿx|‰fe qÀŸïõľ3ŽŽŽ–Ç¹+›nì(¿yd“Ÿûz•ý3Ž‘ Á¹)Ÿ÷”‘À¾2Ž‘33Ÿx|‰fe qÀŸïõľ3ŽŽŽ“¹+˜(¿z{IŸûz•ý3Ž‘ ׏)Ÿ÷”‘À¾2Ž‘33Ÿx|‰fe qÀŸïõľ3ŽŽŽ‘ X&¹]Ÿø ©‘33ľ3Ž‘33Ÿ¢‰fe qÀŸïõ‘ã2ŽŽŽ‘b͹=Ÿø—ž‘€V1Ž‘=ÚŸÞȉfe þ’Ÿ t¿rMÞŸüÖ0½3ŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(213)ŽŽŽŸª¿Ÿø’›R.ޤ’›R.Ž¡’›R.ŽŽŽŽŽŸvã‘n-WBexlŽŸø—ž’Œ'51Ž’‡ÜΟÞȉfehŸ t¿R¨ŸüÖ0ÀnŽŽŽŽŽŽŽ’˜•8¹=ŽŽ’¢M@‘Ó1(¿xŸûz•ÃÀnŽ‘ DÈ¿eŸûeÃÀnŽŸ–¿½1ŽŽ–³´¹+›nì¿yd“Ÿûz•ÃÀnŽ‘ ©[¿eŸûeÃÀnŽŸ–¿½2ŽŽ“¹+˜¿z{IŸûz•ÃÀnŽ‘ À¿eŸûeÃÀnŽŸ–¿½3ŽŽ‘ Dȹ)ŽŽ’—ŠD(214)ŽŽŽŽŸv„’ãÖg26ŽŽŒ‹Èl u0’ ý³CU 1F' ýñm’˜•8¹=ŽŽ’¢M[(¿xŸûz•ÃÀnŽ‘ Dȹ)Ÿ÷”‘ˆ¾2Ž‘33Ÿx|‰fe ePŸïõÄÁnŽŽŽ–º¢¹+›nì(¿yd“Ÿûz•ÃÀnŽ‘ ©[¹)Ÿ÷”‘ˆ¾2Ž‘33Ÿx|‰fe ePŸïõÄÁnŽŽŽ“¹+˜(¿z{IŸûz•ÃÀnŽ‘ À¹)Ÿ÷”‘ˆ¾2Ž‘33Ÿx|‰fe ePŸïõÄÁnŽŽŽ‘ K¶¹]Ÿø ©‘33ÄÁnŽ‘33Ÿ¢‰fe ePŸïõ‘]U¾2ŽŽŽ‘V]¹=Ÿø—ž‘ô|1Ž‘=ÚŸÞȉfe æÞŸ t¿rMÞŸüÖ0ÀnŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(215)ŽŽŽŸò:‘3$ªïsrc:102PART7.texF‘ÿeor–¦fanš²!y“exits,“if–y—¿a“¹is–¦fa“real“n˜um˜bšMÞer“and–y—¿n“¹is–¦fa“p˜ositivš²!e“in˜teger,“the“bMÞexls“are:Ž©Ôµ‘xÈLBexlŽ’‘D(¿aR¨Ÿûz•ý1Ž› r$¹)– §=“@‘Ó1(¿aR¨Ÿûz•ý1Ž˜¹)“=“¿a–Ó1¹@“¿R¨Ÿûz•ý1Ž‘|˹=‘ §¿a“rMÞŸûz•ý1ŽŽŽ’—ŠD¹(216)ŽŽŽ¤j ‘xÈLBexlŽ’‘D(¿aR¨Ÿûz•ý2Ž› r$¹)– §=“@‘Ó1(¿aR¨Ÿûz•ý2Ž˜¹)“=“¿a–Ó1¹@“¿R¨Ÿûz•ý2Ž‘|˹=‘ §¿a“rMÞŸûz•ý2ŽŽŽ’—ŠD¹(217)ŽŽŽ¡‘xÈLBexlŽ’‘D(¿aR¨Ÿûz•ý3Ž› r$¹)– §=“@‘Ó1(¿aR¨Ÿûz•ý3Ž˜¹)“=“¿a–Ó1¹@“¿R¨Ÿûz•ý3Ž‘|˹=‘ §¿a“rMÞŸûz•ý3ŽŽŽ’—ŠD¹(218)ŽŽŽŸä°Ÿø’Æd¨.ޤ’Æd¨.Ž¡’Æd¨.ŽŽŽŽŽŸ‘u'BexlŽ’£`(¿aR¨Ÿûz•ÃÀnŽ› Zp¹)– §=“@‘Ó1(¿aR¨Ÿûz•ÃÀnŽ˜¹)“=“¿a–Ó1¹@“¿R¨Ÿûz•ÃÀnŽ‘e¹=‘ §¿a“rMÞŸûz•ÃÀnŽŽŽ’—ŠD¹(219)ŽŽŽŸ:‘3$ªïsrc:117PART7.texThen–¦ffor“tornado“(¿R¨¹)– §=“¿eŸü¾ÀRŽ‘ó“¹,–¦fwš²!e“can“get“follo˜wing“bMÞexl:ŽŸd‘m…RBexlŽ’‡ÔÇ¿eŸûz•ÀRŽŽŽ’•Xg¹=ŽŽ’ŸS|@‘Ó1(¿eŸûz•½0Ž‘.ð¹+‘nì¿R‘„”¹+Ÿø—ž‘'u1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t2!ŽŽŽŽ– Y—¿R¨Ÿûz•½2Ž›D˜¹+Ÿø—ž‘'u1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t3!ŽŽŽŽ“¿R¨Ÿûz•½3Ž˜¹+‘nì–Ó1“Ž‘5O¹)ŽŽŽ¤ù¾’•Xg=ŽŽ’ŸS|@– §¿eŸûz•½0Ž‘.ð¹+›nì@“¿R‘„”¹+˜@“(Ÿø—ž‘¸‰1Ž‘33ŸÞȉfe„EŸ t2!ŽŽŽŽ‘ ê«¿R¨Ÿûz•½2ޑլ¹)˜+˜@“(Ÿø—ž‘¸‰1Ž‘33ŸÞȉfe„EŸ t3!ŽŽŽŽ‘ ê«¿R¨Ÿûz•½3ޑլ¹)˜+˜Â–Ó1“ŽŽŽŽ¡’•Xg¹=ŽŽ’ŸS|1–nì+“¿r‘¼Ê¹+Ÿø—ž‘'u1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t2!ŽŽŽŽ– Y—¿rMÞŸûz•½2Ž›|ι+Ÿø—ž‘'u1Ž‘¢ŸÞȉfe„EŸ t3!ŽŽŽŽ“¿rMÞŸûz•½3Ž˜¹+‘nì–Ó1“ŽŽŽŽŸ¹A’•Xg¹=ŽŽ’ŸS|¿eŸûz•ÀrŽŽŽ’—ŠD¹(220)ŽŽŽ¦‘3$ªïsrc:130PART7.texIt–¦frev²!eals“us“that:ޤ ’ÄËBexlŽ’ßŽ¿eŸûz•ÀRŽ‘ þ:¹=‘ §¿eŸûz•½@‘j¬ÀRŽŽ’—ŠC¹(221)ŽŽŽŸjZ‘3$ªïsrc:136PART7.texActually‘ÿe,–¦ffor“anš²!y“tornados,“w˜e“ha˜v˜e“follo˜wing“general“form˜ula:ŽŸ’’’´¬ÊŸôÉš‰ffiFmŸó2„ó2ffŸúC4‘³BBexlŽ‘/†(¿Rš¨¹)– §=“(@‘Ó1¿R˜¹)ŽŽ‘hy¡„ó2ffŽžff‰ffiFmŽŽŽŽ’—ŠC(222)ŽŽŽŸ’‘‘3$ªïsrc:142PART7.texHere–¦fare“some“examples“of“tornados'“bMÞexls:ަ’‡~éBexlŽ’¡Î^sinŽ’±E¿R‘ O¹=‘ §sinŽ‘|][–Ó1@“(¿xeŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ–.ð¹+›nì¿yd“eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘À¹)‘Ó1]– §=“sinŽ‘OŽ¿rŽŽ’—ŠD¹(223)ŽŽŽŸ’‡~éBexlŽ’¡Î^lnŽ’¬Á¿R‘ O¹=‘ §lnŽ‘ *¨(@– §¿R¨¹)“=“lnŽ‘ ýÙ¿rŽŽ’—ŠD¹(224)ŽŽŽŸÐp’‡~éBexlŽ’Ÿû-(tanŽ–¤D¿Rš¨¹)Ÿûz•ÀRŽ‘ þ:¹=‘ §[‘Ó1tanŽ“(@‘Ó1¿R˜¹)‘¦f]Ÿûz•½@‘j¬ÀRŽ‘^¹=‘ §(tanŽ“¿rMÞ¹)Ÿûz•ÀrŽŽŽ’—ŠD¹(225)ŽŽŽ¦‘3$ªïsrc:152PART7.texwhere–A>the“familiar“functions,‘gósa²!y“(¿ršMÞ¹)“and“sinŽ‘²ô(¿r˜¹),›góare“obtained.‘®dThen,˜w²!e“canŽ¡‘"$ªuse–¦ftoMÞda²!y's“measuring“system“to“analyze“and“to“test.ŽŸyš‘3$ªïsrc:157PART7.tex‘ñÃÓ‘Ó1ÈThirdŽ‘!B©¹,‘± The–¦fBexls“of“Exits“with“Tw²!o“Ohits“¿RŸ¤z½1Ž‘fj¹and“¿RŸ¤z½2ŽŽ‘± Ÿ>‰feßiGŽŽŸ&Ì‘3$ªïsrc:162PART7.tex¹Let‘*—¿RŸ¤z½1Ž‘¦ü¹=‘æø¿xŸ¤z½1Ž–À¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ›‡¹+‘Ç ¿yŸ¤z½1Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ˜¹+‘Ç ¿zŸ¤z½1Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ“¹,‘K£¿RŸ¤z½2Ž‘¦ü¹=‘æø¿xŸ¤z½2Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ˜¹+‘Ç ¿yŸ¤z½2Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ˜¹+‘Ç ¿zŸ¤z½2Ž“¿eŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ“¹,‘K£then–*—wš²!e“ha˜v˜e“follo˜wingŽ¡‘"$ªbMÞexls:ަ‘WÚE@‘ §(¿RŸ¤z½1Ž‘.ð‘nì¿RŸ¤z½2Ž‘À¹)ŽŽ’”çM=ŽŽ’žâb@‘ §[‘Ó1(¿xŸ¤z½1Ž–.ð›nì¿xŸ¤z½2Ž‘À¹)¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽ“¹+˜(¿yŸ¤z½1Ž“Â˜¿yŸ¤z½2Ž‘À¹)¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽ“¹+˜(¿zŸ¤z½1Ž“Â˜¿zŸ¤z½2Ž‘À¹)¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽ‘“5¹]ŽŽŽŸe^’”çM=ŽŽ’žâb[‘Ó1(¿xŸ¤z½1Ž–.ð›nì¿xŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿yŸ¤z½1Ž“Â˜¿yŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿zŸ¤z½1Ž“Â˜¿zŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž‘“5¹]Ÿø5K‘33¾1Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ2ŽŽŽŽŽ’—ŠC¹(226)ŽŽŽŽŸv„’ãÖg27ŽŽŒ‹Ü u0’ ý³CU 1F' ý홊‘SA¹@‘ §(¿RŸ¤z½1Ž‘.ð‘nì¿RŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2ŽŽŽ’”çM¹=ŽŽ’žâb@‘ §[‘Ó1(¿xŸ¤z½1Ž›.ð‘nì¿xŸ¤z½2Ž–À¹)Ÿûz•½2Ž“¿eŸûz•½2ŽŸ:j1ŽŽ˜¹+–nì(¿yŸ¤z½1Ž˜Â“¿yŸ¤z½2Ž–À¹)Ÿûz•½2Ž“¿eŸûz•½2ŽŸ:j2ŽŽ˜¹+–nì(¿zŸ¤z½1Ž˜Â“¿zŸ¤z½2Ž–À¹)Ÿûz•½2Ž“¿eŸûz•½2ŽŸ:j3ŽŽ‘“5¹]ŽŽŽ¤e^’”çM=ŽŽ’žâb[‘Ó1(¿xŸ¤z½1Ž–.ð›nì¿xŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿yŸ¤z½1Ž“Â˜¿yŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿zŸ¤z½1Ž“Â˜¿zŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž‘“5¹]Ÿø5K‘33¾2Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ2ŽŽŽŽŽ’—ŠC¹(227)ŽŽŽ©ä°Ÿø’—¤.ޤ’—¤.Ž¡’—¤.ŽŽŽŽŽŸ‘R1õ@‘ §(¿RŸ¤z½1Ž‘.ð‘nì¿RŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•ÀnŽŽŽ’”çM¹=ŽŽ’žâb@‘¦f[‘Ó1(¿xŸ¤z½1Ž›.ð–nì¿xŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•ÀnŽ‘¨P¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½1ŽŽ‘<¹+“(¿yŸ¤z½1Ž˜Â“¿yŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•ÀnŽ‘¨P¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½2ŽŽ‘<¹+“(¿zŸ¤z½1Ž˜Â“¿zŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•ÀnŽ‘¨P¿eŸûz•ÀnŽŸ:j½3ŽŽ‘{¹]ŽŽŽŸÕ’”çM=ŽŽ’žâb[‘Ó1(¿xŸ¤z½1Ž–.ð›nì¿xŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿yŸ¤z½1Ž“Â˜¿yŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿zŸ¤z½1Ž“Â˜¿zŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž‘“5¹]Ÿø5K‘33ÁnŽ‘33Ÿx|‰fež7ŸïõyȾ2ŽŽŽŽŽ’—ŠC¹(228)ŽŽŽŸ­Â‘3$ªïsrc:184PART7.texSimilarly:ŽŸE¶‘g*¥@Ÿø—ž‘„³1Ž‘=ÚŸÞȉfe0LŸ t(¿RŸ¤z½1Ž‘.ð‘nì¿RŸ¤z½2Ž‘À¹)ŽŽŽŽŽŽ’¦ž=ŽŽ’°™([‘Ó1(¿xŸ¤z½1Ž–.ð›nì¿xŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿yŸ¤z½1Ž“Â˜¿yŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿zŸ¤z½1Ž“Â˜¿zŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž‘“5¹]Ÿûz•ßüº¶‘33¾1Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ2ŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(229)ŽŽŽŸ¶Š‘bj¡@Ÿø—ž‘äµ1Ž‘=ÚŸÞȉfe4ÇPŸ t(¿RŸ¤z½1Ž‘.ð‘nì¿RŸ¤z½2Ž‘À¹)ŸüÖ0½2ŽŽŽŽŽŽŽ’¦ž¹=ŽŽ’°™([‘Ó1(¿xŸ¤z½1Ž–.ð›nì¿xŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿yŸ¤z½1Ž“Â˜¿yŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿zŸ¤z½1Ž“Â˜¿zŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž‘“5¹]Ÿûz•ßüº¶‘33¾2Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ2ŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(230)ŽŽŽŸg‹Ÿø’©Zá.ޤ’©Zá.Ž¡’©Zá.ŽŽŽŽŽŸvã‘a‚U@Ÿø—ž‘XÛ1Ž‘=ÚŸÞȉfe5¯œŸ t(¿RŸ¤z½1Ž‘.ð‘nì¿RŸ¤z½2Ž‘À¹)ŸüÖ0ÀnŽŽŽŽŽŽŽ’¦ž¹=ŽŽ’°™([‘Ó1(¿xŸ¤z½1Ž–.ð›nì¿xŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿yŸ¤z½1Ž“Â˜¿yŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿zŸ¤z½1Ž“Â˜¿zŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž‘“5¹]Ÿûz•ßüº¶‘33ÁnŽ‘33Ÿx|‰fež7ŸïõyȾ2ŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(231)ŽŽŽŸˆ‘3$ªïsrc:199PART7.texF‘ÿeor–¦fthe“folloš²!wing“exits,“w˜e“also“ha˜v˜e:ŽŸwe‘Z…Ú@‘ §¿a¹(¿RŸ¤z½1Ž‘.ð‘nì¿RŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•ý1ŽŽŽ’¨¹¹=ŽŽ’²´1¿a¹[‘Ó1(¿xŸ¤z½1Ž–.ð›nì¿xŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿yŸ¤z½1Ž“Â˜¿yŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿zŸ¤z½1Ž“Â˜¿zŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž‘“5¹]Ÿûz•ßüº¶‘33¾1Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ2ŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(232)ŽŽŽ¡‘Z…Ú@‘ §¿a¹(¿RŸ¤z½1Ž‘.ð‘nì¿RŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•ý2ŽŽŽ’¨¹¹=ŽŽ’²´1¿a¹[‘Ó1(¿xŸ¤z½1Ž–.ð›nì¿xŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿yŸ¤z½1Ž“Â˜¿yŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿zŸ¤z½1Ž“Â˜¿zŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž‘“5¹]Ÿûz•ßüº¶‘33¾2Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ2ŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(233)ŽŽŽ¦Ÿø’«uê.ޤ’«uê.Ž¡’«uê.ŽŽŽŽŽŸ‘YŽ@‘ §¿a¹(¿RŸ¤z½1Ž‘.ð‘nì¿RŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•ÃÀnŽŽŽ’¨¹¹=ŽŽ’²´1¿a¹[‘Ó1(¿xŸ¤z½1Ž–.ð›nì¿xŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿yŸ¤z½1Ž“Â˜¿yŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿zŸ¤z½1Ž“Â˜¿zŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž‘“5¹]Ÿûz•ßüº¶‘33ÁnŽ‘33Ÿx|‰fež7ŸïõyȾ2ŽŽŽŽŽŽŽ’—ŠD¹(234)ŽŽŽ¤­Â‘3$ªïsrc:214PART7.texIn–¦fgeneral,“wš²!e“ha˜v˜e“follo˜wing“bMÞexl“form˜ula“for“the“t˜w˜o-ohit“tornados:Ž¡‘Z`@‘ §(¿RŸ¤z½1Ž‘.ð‘nì¿RŸ¤z½2Ž‘À¹)ŽŽ’Ÿñ=ŽŽ’© –Ó1[“@“(¿RŸ¤z½1Ž‘.ð‘nì¿RŸ¤z½2Ž‘À¹)“]ŽŽŽŸe^’Ÿñ=ŽŽ’© –Ó1Âf“¹[“(¿xŸ¤z½1Ž–.ð›nì¿xŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿yŸ¤z½1Ž“Â˜¿yŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž“¹+˜(¿zŸ¤z½1Ž“Â˜¿zŸ¤z½2Ž‘À¹)Ÿûz•½2Ž‘“5¹]Ÿø5K‘33¾1Ž‘33Ÿx|‰feª§Ÿïõ2ŽŽŽ‘‘ ÂgŽŽ’—ŠD¹(235)ŽŽŽ¡‘3$ªïsrc:2PART8.texŽŸÖá‘"$ªïsrc:4PART8.texÈVI•Y‹I“I.‘2V-SP‘þó\A¦tCEŽŸ6g‘3$ªïsrc:8PART8.tex‘ñÃÓ‘Ó1ÈFirstŽ‘Kã¹,‘± V‘ÿeeloMÞcit²!y–¦fSpace“or“V-SpaceŽ‘± Ÿº¥‰fe}ôœŽŽŸ£c‘3$ªïsrc:12PART8.texLet–bthe“ohit“¿R‘F¹=‘wž¿xeŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ–Àí¹+›é¿yd“eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ“¹+˜¿z{IeŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ‘ Af¹bšMÞe–ba“particle“p˜osition“in“U-Space,‘¸ and“¿t“¹b˜eŽŸ ‘"$ªtime,–¦fthen“the“particle“v•²!elošMÞcit“y–¦fV“will“b˜e:ŽŸXJ’ÝU¿V‘y–¹=‘ §¿d‘øÂŽ‘ YuŸ¤zÀtŽ‘ ë?¿RŽŽ’¼й=ŽŽŸø—ž’Ç4Ò¿d¹(¿xeŸü¾½1ŽŸÁg1ŽŽ‘À¹)Ž’Ç4ÒŸÞȉfeRªŸ t‘ U¯¿dtŽŽŽŽ’é)›¹+Ÿø—ž‘¢¿d¹(¿yd“eŸü¾½1ŽŸÁg2ŽŽ‘À¹)Ž‘¢ŸÞȉfeÓ}Ÿ t‘ ¿dtŽŽŽŽ‘%»¹+Ÿø—ž‘¢¿d¹(¿z{IeŸü¾½1ŽŸÁg3ŽŽ‘À¹)Ž‘¢ŸÞȉfe£xŸ t‘ þ¿dtŽŽŽŽŽŽŽŸ…ç’¼й=ŽŽ’ÆŸ(Ÿø—ž‘33¿dxŽ‘33ŸÞȉfe õ"Ÿ t‘&ëdtŽŽŽŽ‘[ˆ¹)‘£_Ž¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽŽŽ– H.¹+›nì(Ÿø—ž‘33¿dyŽ‘33ŸÞȉfe uõŸ t‘çUdtŽŽŽŽ‘ Ü[¹)‘£_Ž¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽŽŽ“¹+˜(Ÿø—ž‘33¿dzŽ‘33ŸÞȉfe EðŸ t‘ÏRdtŽŽŽŽ‘ ¬V¹)‘£_Ž¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽŽŽŽŽŽŸ0’¼й=ŽŽ’ÆŸ¿vŸ¤zÀxŽ‘ëí¹_Ž‘Hç¿eŸûz•½1ŽŸ:j1ŽŽŽŽ‘‘¹+–nì¿vŸ¤zÀyŽ‘ ¹_Ž‘ý ¿eŸûz•½1ŽŸ:j2ŽŽŽŽ‘E;¹+“¿vŸ¤zÀzŽ‘m´¹_Ž‘Ê®¿eŸûz•½1ŽŸ:j3ŽŽŽŽŽŽ’—ŠC¹(236)ŽŽŽ